Задача 10151360 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Метод рационализации

Основание логарифма зависит от x, поэтому знак множителя-логарифма определяем методом рационализации: logₐ f имеет тот же знак, что (a − 1)(f − 1). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ② и ③.

x \cdot \log_{x + 3} (2 x + 7) \geq 0 ⟺

{\begin{matrix} x ((x + 3) - 1) ((2 x + 7) - 1) \geq 0 & 1 \\ x + 3 > 0, x + 3 \neq 1 & 2 \\ 2 x + 7 > 0 & 3 \end{matrix}

Условие ② — основание логарифма положительно и не равно единице, условие ③ — аргумент положителен. Множитель x логарифмом не является, поэтому он переходит в ① без изменений.

шаг 2.Неравенство ①

Раскрываем обе скобки и выносим двойку из последнего множителя — корни становятся видны сразу.

1 x ((x + 3) - 1) ((2 x + 7) - 1) \geq 0

x (x + 2) (2 x + 6) \geq 0

2 x (x + 2) (x + 3) \geq 0

Положительную двойку перед произведением не убираем: на знак она не влияет, а корни у выражения те же. Все три корня закрашены (нестрогое ≥). Пробная точка x = −1 на интервале (−2; 0): 2 · (−1) · (−1 + 2) · (−1 + 3) = 2 · (−1) · 1 · 2 = −4 < 0 — знак «−»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Решение ①: [−3; −2] ∪ [0; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно и не равно единице.

2 x + 3 > 0, x + 3 \neq 1

x > - 3, x \neq - 2

Точка x = −2 выколота: там основание x + 3 обращается в единицу. Знак самого выражения x + 3 через неё не меняется. Решение ②: (−3; −2) ∪ (−2; +∞).

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — аргумент логарифма положителен.

3 2 x + 7 > 0

x > - 3,5

Решение ③: (−3,5; +∞).

шаг 5.Пересечение

Сводим три оси в одну. Ограничение ② открывает обе границы отрезка [−3; −2], а ограничение ③ ничего нового не отсекает — оно слабее ②.

Проверка: x = −2,5 ⇒ основание 0,5, аргумент 2, логарифм равен −1, произведение (−2,5) · (−1) = 2,5 ≥ 0 ✓. Проверка: x = 1 ⇒ log₄ 9 > 0, произведение положительно ✓. Проверка: x = −1 ⇒ log₂ 5 > 0, произведение (−1) · log₂ 5 < 0 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.