Задача 10151358 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{x} (\sqrt{x^{2} + 2 x - 3} + 2) \cdot \log_{5} (x^{2} + 2 x - 2) \geq \log_{x} 4

шаг 1.Область допустимых значений

Основание x положительно и не равно единице, подкоренное выражение неотрицательно, аргумент второго логарифма положителен.

ОДЗ

x^{2} + 2 x - 3 = (x + 3) (x - 1) \geq 0 ⟺ x \leq - 3 или x \geq 1

{\begin{matrix} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x \leq - 3 или x \geq 1 \end{matrix} ⟺ x > 1

При x > 1 второй аргумент x² + 2x − 2 больше 1 + 2 − 2 = 1, то есть положителен — отдельного ограничения он не даёт.

шаг 2.Замена переменной

Обозначим p = √(x² + 2x − 3). Тогда p ≥ 0, а второй аргумент выражается через p: x² + 2x − 2 на единицу больше подкоренного выражения.

p = \sqrt{x^{2} + 2 x - 3} \geq 0, p^{2} = x^{2} + 2 x - 3

x^{2} + 2 x - 2 = p^{2} + 1

\log_{x} (p + 2) \cdot \log_{5} (p^{2} + 1) \geq \log_{x} 4

Замена взаимно однозначна: при x > 1 подкоренное выражение возрастает, поэтому каждому x отвечает своё p ≥ 0.

шаг 3.Переходим к основанию 2

Делим обе части на log_x 2: при x > 1 этот логарифм положителен, направление неравенства сохраняется. По формуле перехода к новому основанию логарифма отношение log_x A / log_x 2 равно log₂ A.

\log_{x} (p + 2) \cdot \log_{5} (p^{2} + 1) \geq \log_{x} 4 | : \log_{x} 2

\frac{\log_{x} (p + 2)}{\log_{x} 2} = \log_{2} (p + 2), \frac{\log_{x} 4}{\log_{x} 2} = \log_{2} 4 = 2

\log_{2} (p + 2) \cdot \log_{5} (p^{2} + 1) \geq 2

Деление на log_x 2 допустимо: по ОДЗ x > 1, значит log_x 2 > 0 и нулём он не бывает — корень не теряем, а знак «≥» остаётся прежним.

шаг 4.Монотонность левой части

При p ≥ 0 оба множителя неотрицательны и возрастают, значит и произведение возрастает. Достаточно найти точку, где оно равно 2: обе скобки одновременно дают «круглые» значения при p = 2.

p = 2 : \log_{2} (2 + 2) \cdot \log_{5} (2^{2} + 1) = \log_{2} 4 \cdot \log_{5} 5 = 2 \cdot 1 = 2

\log_{2} (p + 2) \cdot \log_{5} (p^{2} + 1) \geq 2 ⟺ p \geq 2

При p ≥ 0 первый множитель не меньше log₂ 2 = 1, второй — не меньше log₅ 1 = 0; оба строго возрастают вместе с p, поэтому произведение строго возрастает и значение 2 принимает ровно один раз.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x: обе части неравенства p ≥ 2 неотрицательны, поэтому его можно возвести в квадрат.

\sqrt{x^{2} + 2 x - 3} \geq 2

x^{2} + 2 x - 3 \geq 4

x^{2} + 2 x - 7 \geq 0

D = 2^{2} - 4 \cdot (- 7) = 4 + 28 = 32

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{- 2 \pm 4 \sqrt{2}}{2} \begin{matrix} = - 1 + 2 \sqrt{2} \\ = - 1 - 2 \sqrt{2} \end{matrix}

Парабола ветвями вверх, корни закрашены (нестрогое ≥): трёхчлен неотрицателен вне корней. Левый луч целиком лежит вне ОДЗ (x > 1) — от корня −1 − 2√2 пунктир вниз не идёт. Проверка: x = 2 ⇒ p = √5 ≈ 2,24 > 2, неравенство выполнено ✓; x = 1,5 ⇒ p = 1,5 < 2, не выполнено ✓.

ответ

x \in [2 \sqrt{2} - 1; + \infty)