Задача 10151354 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{2}^{2} (3 x + 1) + \log_{3 x + 1}^{2} 2 - 2 \log_{2} {(3 x + 1)}^{2} - 2 \log_{3 x + 1} 4 + 6 \leq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Выражение 3x + 1 стоит и аргументом логарифма по основанию 2, и основанием двух других логарифмов: оно обязано быть положительным и не равным единице.

ОДЗ

{\begin{matrix} 3 x + 1 > 0 \\ 3 x + 1 \neq 1 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x > - \frac{1}{3} \\ x \neq 0 \end{matrix}

Аргументы (3x + 1)², 2 и 4 положительны автоматически — новых ограничений они не дают.

шаг 2.Замена переменной

Обозначим u = log₂(3x + 1). Логарифмы с основанием 3x + 1 взаимно обратны к нему, а чётные степени в аргументах выносятся множителями.

u = \log_{2} (3 x + 1)

\log_{3 x + 1} 2 = \frac{1}{u}

\log_{2} {(3 x + 1)}^{2} = 2 \log_{2} (3 x + 1) = 2 u

\log_{3 x + 1} 4 = 2 \log_{3 x + 1} 2 = \frac{2}{u}

u^{2} + \frac{1}{u^{2}} - 4 u - \frac{4}{u} + 6 \leq 0

Формула перехода к новому основанию логарифма: log_b a = 1 / log_a b. По ОДЗ 3x + 1 ≠ 1, поэтому u ≠ 0 и обе дроби определены.

шаг 3.Вторая замена

Слагаемые группируются в сумму u + 1/u: её квадрат даёт u² + 1/u² с добавкой 2. Обозначим s = u + 1/u — неравенство сворачивается в полный квадрат.

s = u + \frac{1}{u}

s^{2} = u^{2} + 2 + \frac{1}{u^{2}} ⟹ u^{2} + \frac{1}{u^{2}} = s^{2} - 2

s^{2} - 2 - 4 s + 6 \leq 0

s^{2} - 4 s + 4 \leq 0

{(s - 2)}^{2} \leq 0

s = 2

Квадрат неотрицателен при любом s, поэтому (s − 2)² ≤ 0 выполняется в единственной точке s = 2.

шаг 4.Обратная замена

Из s = 2 находим u, затем возвращаемся к x. Проверяем, что найденная точка лежит в ОДЗ.

u + \frac{1}{u} = 2

\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} = 0

\frac{{(u - 1)}^{2}}{u} = 0 ⟺ u = 1

\log_{2} (3 x + 1) = 1

3 x + 1 = 2

x = \frac{1}{3}

Точки −1/3 и 0 выколоты по ОДЗ; ответ — единственная закрашенная точка x = 1/3, она лежит правее нуля и ОДЗ проходит. Проверка: x = 1/3 ⇒ 3x + 1 = 2, значит u = 1 и все четыре слагаемых равны 1, 1, −4, −4; вместе с шестёркой сумма равна нулю ✓.

ответ

x = \frac{1}{3}