Задача 10151352 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{\log_{x + 5} (2 x^{2} + 4 x + 48)}{\log_{x + 5} (x^{2} + 2 x - 3)} \geq \frac{\log_{2} (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2})}{\log_{2} (x^{2} + 2 x - 3)}

шаг 1.Область допустимых значений

Основание x + 5 положительно и не равно единице, аргументы всех логарифмов положительны, а логарифмы в знаменателях не обращаются в ноль.

ОДЗ

{\begin{matrix} x + 5 > 0, x + 5 \neq 1 \\ 2 x^{2} + 4 x + 48 > 0 \\ x^{2} + 2 x - 3 > 0, x^{2} + 2 x - 3 \neq 1 \\ x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} > 0 \end{matrix}

x + 5 > 0, x + 5 \neq 1 ⟺ x > - 5, x \neq - 4

D = 4^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 48 = 16 - 384 = - 368 < 0 ⟹ 2 x^{2} + 4 x + 48 > 0

x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} = x^{2} {(x + 2)}^{2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}

Условия на x² + 2x − 3 удобнее оставить до замены — они превратятся в ограничения на новую переменную. Из x² + 2x − 3 > 0 следует x² + 2x > 3, поэтому (x² + 2x)² > 0 выполняется автоматически.

шаг 2.Приводим левую часть к основанию 2

В левой дроби числитель и знаменатель — логарифмы с одним основанием x + 5. Переводим оба к основанию 2 — общий множитель сокращается, и слева остаётся отношение логарифмов по основанию 2. После этого у обеих частей одинаковый знаменатель, и всё переносим влево.

\log_{x + 5} A = \frac{\log_{2} A}{\log_{2} (x + 5)}

\frac{\log_{x + 5} (2 x^{2} + 4 x + 48)}{\log_{x + 5} (x^{2} + 2 x - 3)} = \frac{\log_{2} (2 x^{2} + 4 x + 48)}{\log_{2} (x^{2} + 2 x - 3)}

\frac{\log_{2} (2 x^{2} + 4 x + 48)}{\log_{2} (x^{2} + 2 x - 3)} \geq \frac{\log_{2} {(x^{2} + 2 x)}^{2}}{\log_{2} (x^{2} + 2 x - 3)}

\frac{\log_{2} (2 x^{2} + 4 x + 48) - \log_{2} {(x^{2} + 2 x)}^{2}}{\log_{2} (x^{2} + 2 x - 3)} \geq 0

Множитель 1 : log₂(x + 5) стоит и в числителе, и в знаменателе левой дроби — он сокращается, и переменное основание из неравенства уходит. Справа под логарифмом стоит полный квадрат: x⁴ + 4x³ + 4x² = (x² + 2x)².

шаг 3.Делаем замену

Во всех логарифмах повторяется одно и то же выражение x² + 2x. Обозначим его y. Оставшиеся условия ОДЗ записываются прямо через y.

y = x^{2} + 2 x, y > 3

\frac{\log_{2} (2 y + 48) - \log_{2} y^{2}}{\log_{2} (y - 3)} \geq 0

Здесь 2x² + 4x + 48 = 2y + 48, x² + 2x − 3 = y − 3, а (x² + 2x)² = y². Условие x² + 2x − 3 > 0 даёт y > 3, условие x² + 2x − 3 ≠ 1 — это y ≠ 4.

шаг 4.Метод рационализации

Числитель и знаменатель — разности логарифмов по основанию 2. Применяем метод рационализации: logₐ f − logₐ g имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому сразу переходим к равносильной системе: рационализированное неравенство ① и ограничение ②.

\frac{\log_{2} (2 y + 48) - \log_{2} y^{2}}{\log_{2} (y - 3) - \log_{2} 1} \geq 0

⟺ {\begin{matrix} \frac{(2 - 1) ((2 y + 48) - y^{2})}{(2 - 1) ((y - 3) - 1)} \geq 0 & 1 \\ y - 3 > 0 & 2 \end{matrix}

Ноль в знаменателе записан как log₂1 — тогда обе части дроби становятся разностями логарифмов одного основания. Условие y ≠ 4 отдельной строкой не пишем: это в точности точка разрыва дроби ①. Аргументы 2y + 48 и y² положительны при y > 3 автоматически.

шаг 5.Метод интервалов в y

Упрощаем ①: множители (2 − 1) = 1 в числителе и знаменателе исчезают, числитель раскладываем по теореме Виета. Затем решаем ① и ② каждое на своей оси и берём пересечение.

1 \frac{(2 - 1) ((2 y + 48) - y^{2})}{(2 - 1) ((y - 3) - 1)} \geq 0

\frac{- (y^{2} - 2 y - 48)}{y - 4} \geq 0

\frac{- (y - 8) (y + 6)}{y - 4} \geq 0

2 y - 3 > 0 ⟺ y > 3

Проверка по Виета для y² − 2y − 48: сумма корней должна равняться 2, произведение — −48. Подходят 8 и −6. Пробная точка y = 5 на интервале (4; 8): −(5 − 8)(5 + 6) : (5 − 4) = 33 : 1 = 33 > 0 — знак «+»; через простые корни знаки чередуются. Ограничение ② срезает всю левую часть решения ①: остаётся y ∈ (4; 8].

шаг 6.Обратная замена

Возвращаемся к x: подставляем y = x² + 2x в двойное неравенство и решаем каждую его половину отдельно.

4 < x^{2} + 2 x \leq 8

1) x^{2} + 2 x > 4 ⟺ x^{2} + 2 x - 4 > 0

D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4) = 4 + 16 = 20

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2} = - 1 \pm \sqrt{5}

(x + 1 + \sqrt{5}) (x + 1 - \sqrt{5}) > 0

2) x^{2} + 2 x \leq 8 ⟺ x^{2} + 2 x - 8 \leq 0

(x + 4) (x - 2) \leq 0

Корни −1 ± √5 иррациональные, поэтому первую половину раскладываем через дискриминант. Проверка по Виета для x² + 2x − 8: сумма корней должна равняться −2, произведение — −8. Подходят −4 и 2.

шаг 7.Пересечение

Пересекаем решения обеих половин с ОДЗ. Границы −1 − √5 и −1 + √5 выколоты (строгое неравенство), границы −4 и 2 закрашены. Точка −4 всё же выпадает: там основание x + 5 равно единице.

Пробная точка x = 0 на среднем интервале первой оси: 0² + 2·0 − 4 = −4 < 0 — знак «−», строгое > 0 там не выполнено. Пробная точка x = 0 на интервале (−4; 2): (0 + 4)(0 − 2) = −8 < 0 — знак «−», и это решение нестрогого ≤ 0. Точка x = 2 остаётся закрашенной: там обе части исходного неравенства равны.

ответ

x \in (- 4; - 1 - \sqrt{5}) \cup (- 1 + \sqrt{5}; 2]

$\frac{\log_{x + 5} (x^{2} + 2 x + 56)}{\log_{x + 5} (x^{2} + 2 x - 2)} \geq \frac{\log_{2} (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2})}{\log_{2} (x^{2} + 2 x - 2)}$