Задача 10151350 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Основание 2x положительно и не равно единице. Аргумент 0,5 положителен сам по себе, аргумент 16x — при x > 0.

ОДЗ

{\begin{matrix} 2 x > 0 \\ 2 x \neq 1 \\ 16 x > 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x > 0 \\ x \neq 0,5 \end{matrix}

Условие 16x > 0 следует из x > 0. Из 2x ≠ 1 получаем x ≠ 0,5: при этом значении основание логарифма равно единице.

шаг 2.Переходим к основанию 2

Логарифм с переменным основанием 2x переводим к основанию 2 по формуле перехода, а логарифм произведения 16x раскладываем в сумму.

\log_{2 x} 0,5 = \frac{\log_{2} 0,5}{\log_{2} 2 x} = \frac{- 1}{1 + \log_{2} x}

\log_{2} 16 x - 1 = 4 + \log_{2} x - 1 = \log_{2} x + 3

log₂0,5 = log₂2⁻¹ = −1; log₂2x = log₂2 + log₂x = 1 + log₂x; log₂16 = 4. На ОДЗ x > 0, поэтому оба множителя под логарифмом положительны и раскладывать сумму можно.

шаг 3.Делаем замену

Обозначим t = log₂ x. Ограничение ОДЗ x ≠ 0,5 превращается ровно в ноль знаменателя.

t = \log_{2} x, t \neq - 1

\frac{- 1}{t + 1} \geq t + 3

x = 0,5 даёт t = log₂0,5 = −1.

шаг 4.Сводим к одной дроби

Переносим правую часть влево, приводим к общему знаменателю t + 1 и узнаём в числителе полный квадрат.

\frac{- 1}{t + 1} - (t + 3) \geq 0

\frac{- 1 - (t + 3) (t + 1)}{t + 1} \geq 0

\frac{- 1 - (t^{2} + 4 t + 3)}{t + 1} \geq 0

\frac{- t^{2} - 4 t - 4}{t + 1} \geq 0

- t^{2} - 4 t - 4 = - (t^{2} + 4 t + 4)

t^{2} + 4 t + 4 = t^{2} + 2 \cdot t \cdot 2 + 2^{2} = {(t + 2)}^{2}

\frac{- {(t + 2)}^{2}}{t + 1} \geq 0

Числитель свернулся по формуле квадрата суммы a² + 2ab + b² = (a + b)².

шаг 5.Метод интервалов в t

Корень числителя t = −2 входит в чётной степени: он закрашен (нестрогое ≥), но знак дроби через него не меняется — на оси это петелька. Точка разрыва знаменателя t = −1 выколота.

Пробная точка t = 0: −(0 + 2)² : (0 + 1) = −4 < 0 → на интервале (−1; +∞) знак «−». Квадрат (t + 2)² неотрицателен, поэтому слева и справа от t = −2 знак один и тот же «+»; сама точка входит в решение — там дробь равна нулю. Решение: t < −1.

шаг 6.Обратная замена

Подставляем t = log₂x, границу записываем как логарифм степени двойки и снимаем логарифмы: основание 2 > 1, логарифм возрастает — знак сохраняется. Слева границу даёт ОДЗ.

\log_{2} x < - 1

\log_{2} x < \log_{2} 2^{- 1}

x < 2^{- 1}

x < 0,5

0 < x < 0,5

Ноль выколот — по ОДЗ x > 0; точка 0,5 выколота, там основание 2x равно единице. Точка x = 0,25 (это t = −2) лежит внутри ответа: в ней обе части неравенства равны 1.

условие