Задача 10151347 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Все три основания положительны и не равны единице. Аргумент 2 положителен сам по себе и ограничений не даёт.

ОДЗ

{\begin{matrix} x > 0, x \neq 1 \\ 2 x > 0, 2 x \neq 1 \\ 4 x > 0, 4 x \neq 1 \end{matrix}

{\begin{matrix} x > 0, x \neq 1 \\ x > 0, x \neq 0,5 \\ x > 0, x \neq 0,25 \end{matrix}

x > 0, x \neq 0,25, x \neq 0,5, x \neq 1

Выколотые точки 0,25, 0,5 и 1 — это значения, при которых основания 4x, 2x и x обращаются в единицу.

шаг 2.Переворачиваем логарифмы

У всех трёх логарифмов один и тот же аргумент 2, а основания переменные. Переворачиваем каждый логарифм — тогда двойка становится основанием, а переменная уходит в аргумент.

\log_{x} 2 = \frac{1}{\log_{2} x}

\log_{2 x} 2 = \frac{1}{\log_{2} 2 x} = \frac{1}{1 + \log_{2} x}

\log_{4 x} 2 = \frac{1}{\log_{2} 4 x} = \frac{1}{2 + \log_{2} x}

Формула log_a b = 1 : log_b a верна при a, b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1 — на ОДЗ все условия выполнены. log₂2x = log₂2 + log₂x = 1 + log₂x, а log₂4x = log₂4 + log₂x = 2 + log₂x.

шаг 3.Делаем замену

Обозначим t = log₂x. Выколотые точки ОДЗ переходят в t ≠ 0, t ≠ −1 и t ≠ −2. Приводим левую часть к одной дроби.

t = \log_{2} x, t \neq 0, t \neq - 1, t \neq - 2

\frac{1}{t} + \frac{3}{1 + t} - \frac{6}{2 + t} \leq 0

\frac{(1 + t) (2 + t) + 3 t (2 + t) - 6 t (1 + t)}{t (1 + t) (2 + t)} \leq 0

\frac{t^{2} + 3 t + 2 + 3 t^{2} + 6 t - 6 t^{2} - 6 t}{t (1 + t) (2 + t)} \leq 0

\frac{- 2 t^{2} + 3 t + 2}{t (1 + t) (2 + t)} \leq 0

\frac{2 t^{2} - 3 t - 2}{t (1 + t) (2 + t)} \geq 0

Значения x = 1, 0,5 и 0,25 дают t = 0, −1 и −2 — это ровно точки разрыва получившейся дроби. Умножаем обе части на −1 — знак неравенства переворачивается.

шаг 4.Раскладываем числитель

Числитель — квадратный трёхчлен; находим корни через дискриминант и записываем разложение.

D = {(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2) = 9 + 16 = 25

t = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4} \begin{matrix} = 2 \\ = - 0,5 \end{matrix}

2 t^{2} - 3 t - 2 = 2 (t - 2) (t + 0,5)

\frac{2 (t - 2) (t + 0,5)}{t (1 + t) (2 + t)} \geq 0

Множитель 2 в скобку не вносим: так корни 2 и −0,5 видны прямо в скобках и совпадают с точками на оси. Положительная двойка на знак дроби не влияет.

шаг 5.Метод интервалов

Корни числителя: −0,5 и 2 — закрашены (нестрогое ≥). Точки разрыва: −2, −1 и 0 — выколоты.

Пробная точка t = 1 на (0; 2): 2(1 − 2)(1 + 0,5) : (1 · 2 · 3) = −3 : 6 < 0 — знак «−»; через простые корни знаки чередуются. Решение: −2 < t < −1, или −0,5 ≤ t < 0, или t ≥ 2.

шаг 6.Обратная замена

Возвращаемся к x. Логарифм по основанию 2 > 1 возрастает, поэтому неравенства для t переносятся на аргументы без смены знака.

1) - 2 < \log_{2} x < - 1

\log_{2} 2^{- 2} < \log_{2} x < \log_{2} 2^{- 1}

0,25 < x < 0,5

2) - 0,5 \leq \log_{2} x < 0

\log_{2} 2^{- 0,5} \leq \log_{2} x < \log_{2} 1

\frac{\sqrt{2}}{2} \leq x < 1

3) \log_{2} x \geq 2

\log_{2} x \geq \log_{2} 4

x \geq 4

Числа −2, −1, −0,5, 0 и 2 записали как логарифмы по основанию 2. Число 2 в степени −0,5 — это 1 : √2; умножив числитель и знаменатель на √2, получаем √2 : 2.

условие