Задача 10151346 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Оба основания положительны и не равны единице; аргумент 2 положителен сам по себе.

ОДЗ

x + 1 > 0, x + 1 \neq 1 ⟺ x > - 1, x \neq 0

3 - x > 0, 3 - x \neq 1 ⟺ x < 3, x \neq 2

x \in (- 1; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 3)

Основания x + 1 и 3 − x могут быть как больше, так и меньше единицы, поэтому делить на случаи не будем — применим метод рационализации.

шаг 2.Метод рационализации

Переходим к общему основанию: log_a 2 = 1/log_2 a, откуда log_{x+1}2 − log_{3−x}2 после приведения к общему знаменателю даёт разность логарифмов в числителе. По методу рационализации знак ln(x + 1) совпадает со знаком (x + 1 − 1) = x, знак ln(3 − x) — со знаком (3 − x − 1) = 2 − x, а знак ln(3 − x) − ln(x + 1) — со знаком (3 − x) − (x + 1) = 2 − 2x.

\log_{x + 1} 2 - \log_{3 - x} 2 = \frac{\ln 2 (\ln (3 - x) - \ln (x + 1))}{\ln (x + 1) \cdot \ln (3 - x)} \leq 0

\frac{(3 - x) - (x + 1)}{x \cdot (2 - x)} \leq 0

\frac{2 - 2 x}{x (2 - x)} \leq 0

\frac{1 - x}{x (2 - x)} \leq 0

Множитель ln 2 > 0 на знак не влияет. Числитель и знаменатель заменяем рационализирующими выражениями: ln(3 − x) − ln(x + 1) ∼ (2 − 2x), ln(x + 1) ∼ x, ln(3 − x) ∼ (2 − x). Сокращаем общий множитель 2 > 0.

шаг 3.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Числитель обращается в ноль при x = 1 (закрашена), знаменатель — при x = 0 и x = 2 (выколоты). Все три точки попадают в ОДЗ, расставляем знаки по интервалам.

Пробная точка x = 0,5 на (0; 1): (1 − 0,5)/(0,5·1,5) = 0,5/0,75 > 0. Знаки чередуются. Нас интересует «−»: интервал (−1; 0) (слева ограничен ОДЗ) и (1; 2). Точка 1 закрашена, точки 0 и 2 выколоты.

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Метод рационализации

шаг 3.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

ответ