Задача 10151344 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Сводим к одному логарифму

Оба логарифма переносим влево: разность логарифмов с одинаковым основанием — логарифм частного. Деление на дробь 1 : (x² − 9x + 20) — это умножение на сам трёхчлен, а он раскладывается на (x − 4)(x − 5). Преобразование законно на ОДЗ, и всю ОДЗ мы выпишем в равносильной системе следующего шага.

\log_{{(x - 2)}^{2}} \frac{5 - x}{4 - x} - \log_{{(x - 2)}^{2}} \frac{1}{x^{2} - 9 x + 20} \leq 1

\log_{{(x - 2)}^{2}} (\frac{5 - x}{4 - x} \cdot (x^{2} - 9 x + 20)) \leq 1

x^{2} - 9 x + 20 = (x - 4) (x - 5)

\frac{5 - x}{4 - x} \cdot (x - 4) (x - 5) = \frac{x - 4}{4 - x} \cdot (5 - x) (x - 5) =

= (- 1) \cdot (- {(x - 5)}^{2}) = {(x - 5)}^{2}

\log_{{(x - 2)}^{2}} {(x - 5)}^{2} \leq 1

По теореме Виета для x² − 9x + 20 = 0 сумма корней должна равняться 9, произведение — 20. Подбираем 4 и 5, отсюда x² − 9x + 20 = (x − 4)(x − 5). Дальше (x − 4) : (4 − x) = −1, а (5 − x)(x − 5) = −(x − 5)², поэтому произведение двух минусов даёт (x − 5)².

шаг 2.Метод рационализации

Единицу записываем как log_B B — обе части становятся логарифмами одного основания. Основание B переменное, поэтому знак разности задаём методом рационализации: знак log_B A − log_B B совпадает со знаком (B − 1)(A − B). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ② и ③ на аргументы и основание.

A = {(x - 5)}^{2}, B = {(x - 2)}^{2}

\log_{B} A \leq \log_{B} B

⟺ {\begin{matrix} (B - 1) (A - B) \leq 0 & 1 \\ \frac{5 - x}{4 - x} > 0, \frac{1}{x^{2} - 9 x + 20} > 0 & 2 \\ B > 0, B \neq 1 & 3 \end{matrix}

Условие ② — аргументы обоих логарифмов положительны, условие ③ — основание положительно и не равно единице. Дальше решаем ①, ② и ③ по очереди, в конце берём пересечение.

шаг 3.Неравенство ①

Вычисляем оба множителя ①: каждый из них — разность квадратов, раскладываем по формуле a² − b² = (a − b)(a + b).

1 (B - 1) (A - B) \leq 0

B - 1 = {(x - 2)}^{2} - 1 = (x - 2 - 1) (x - 2 + 1) = (x - 3) (x - 1)

A - B = {(x - 5)}^{2} - {(x - 2)}^{2} =

= ((x - 5) - (x - 2)) ((x - 5) + (x - 2)) = (- 3) (2 x - 7)

(x - 3) (x - 1) \cdot (- 3) (2 x - 7) \leq 0

- 3 (x - 1) (x - 3) (2 x - 7) \leq 0

Минус перед произведением оставляем — знак расставит пробная точка. Пробная точка x = 0: −3(0 − 1)(0 − 3)(2·0 − 7) = −3·(−1)·(−3)·(−7) = 63 > 0 → на интервале (−∞; 1) знак «+». Корни 1, 3 и 3,5 закрашены (нестрогое ≤), все простые, знаки чередуются. Решение ①: 1 ≤ x ≤ 3 или x ≥ 3,5.

шаг 4.Ограничение ②

Оба аргумента дают одно и то же условие. Знак дроби (5 − x) : (4 − x) совпадает со знаком произведения (5 − x)(4 − x), а дробь 1 : (x² − 9x + 20) положительна ровно тогда, когда положителен сам трёхчлен.

2 \frac{5 - x}{4 - x} > 0 ⟺ (5 - x) (4 - x) > 0

(5 - x) (4 - x) = (x - 5) (x - 4)

\frac{1}{x^{2} - 9 x + 20} > 0 ⟺ x^{2} - 9 x + 20 > 0

(x - 4) (x - 5) > 0

При замене дроби на произведение знак не меняется: числитель и знаменатель одного знака ровно тогда, когда их произведение положительно. Пробная точка x = 0: (0 − 5)(0 − 4) = 20 > 0 → на интервале (−∞; 4) знак «+». Точки 4 и 5 выколоты (строгое >). Решение ②: x < 4 или x > 5.

шаг 5.Ограничение ③

Основание B = (x − 2)² — чётная степень: оно положительно всюду, кроме x = 2. Ещё две точки выкалывает условие B ≠ 1.

3 {(x - 2)}^{2} > 0 ⟺ x \neq 2

{(x - 2)}^{2} \neq 1 ⟺ x - 2 \neq \pm 1

x \neq 1, x \neq 3

Чётная степень (x − 2)² неотрицательна при любом x и обращается в ноль лишь при x = 2, поэтому (x − 2)² > 0 равносильно x ≠ 2. Из x − 2 = 1 и x − 2 = −1 получаем ещё две выколотые точки 3 и 1: при них основание логарифма равно единице. Решение ③: вся ось, кроме точек 1, 2 и 3.

шаг 6.Пересечение

Сводим три оси в одну — берём пересечение решений ①, ② и ③. Ограничение ② отрезает промежуток от 4 до 5, ограничение ③ выкалывает точки 1, 2 и 3, которые на оси ① были закрашены.

Точка 3,5 остаётся закрашенной: она проходит все три условия. Границы 1 и 3 из ① выколоты ограничением ③, границы 4 и 5 — ограничением ②.

условие