условие
шаг 1.Область допустимых значений
Основание логарифма 9x положительно и не равно единице. Справа стоит дробь, в знаменателе которой log₃x: нужен x > 0, и сам знаменатель не должен обращаться в ноль.
Аргумент 27 положителен сам по себе, условие 9x > 0 следует из x > 0. Из 9x ≠ 1 получаем x ≠ 1/9: при этом значении основание логарифма равно единице. log₃x = 0 ровно при x = 1 — это ноль знаменателя правой части.
шаг 2.Переходим к основанию 3
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
log₃27 = 3, log₃9x = log₃9 + log₃x = 2 + log₃x. На ОДЗ x > 0, поэтому оба множителя под логарифмом положительны и раскладывать сумму можно.
шаг 3.Делаем замену
Обозначим t = log₃x. Ограничения ОДЗ x ≠ 1/9 и x ≠ 1 превращаются ровно в нули знаменателей.
x = 1/9 даёт t = log₃(1 : 9) = −2, x = 1 даёт t = 0.
шаг 4.Сводим к одной дроби
Переносим правую часть влево и приводим к общему знаменателю t(t + 2).
Числитель: 3t − (t + 2) = 3t − t − 2 = 2t − 2 = 2(t − 1). Положительный множитель 2 на знак дроби не влияет, делить на него неравенство незачем.
шаг 5.Метод интервалов в t
Корень числителя: t = 1 — закрашен (нестрогое ≤). Точки разрыва знаменателя: −2 и 0 — выколоты. Все корни простые, знаки чередуются.
Пробная точка t = −1: 2(−1 − 1) : ((−1)·(−1 + 2)) = (−4) : (−1) = 4 > 0 → на интервале (−2; 0) знак «+». Решение: t < −2 или 0 < t ≤ 1.
шаг 6.Обратная замена
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
В первом случае левая граница 0 пришла из ОДЗ x > 0, а 1/9 выколота: при ней основание логарифма равно единице. Точка 1 выколота по ОДЗ — там знаменатель log₃x обращается в ноль. Граница x = 3 закрашена: неравенство нестрогое.