условие
шаг 1.Область допустимых значений
Под первым логарифмом стоит полный квадрат: 1 − 4x + 4x² = (1 − 2x)². Оба основания положительны и не равны единице, оба аргумента положительны, а логарифм в знаменателе не обращается в ноль.
Квадрат (1 − 2x)² положителен всюду, кроме x = 1/2, поэтому условие (x + 1)(1 − 2x)² > 0 сводится к x + 1 > 0. Логарифм в знаменателе равен нулю только при 1 − 2x = 1, то есть при x = 0.
шаг 2.Обозначаем логарифм буквой
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
На ОДЗ оба множителя x + 1 и (1 − 2x)² положительны, поэтому логарифм произведения раскрывается в сумму без модулей. log_{1−2x}(1 − 2x)² = 2 — это логарифм основания в квадрате. Деление на 1 : u — то же самое, что умножение на u, поэтому дробь сразу превращается в произведение.
шаг 3.Выделяем полный квадрат
Переносим всё в левую часть — получается полный квадрат. Квадрат неотрицателен, поэтому неравенство выполняется только при равенстве нулю.
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому (u + 1)² ≤ 0 возможно только при (u + 1)² = 0.
шаг 4.Обратная замена
Возвращаемся к x: логарифм равен −1, значит аргумент равен основанию в степени −1.
Раскрываем скобки: (x + 1)(1 − 2x) = −2x² − x + 1; после переноса единицы остаётся −2x² − x = 0, а умножение на −1 даёт 2x² + x = 0. По ОДЗ x ≠ 0, поэтому первый корень посторонний. Проверка x = −0,5: основание 1 − 2x = 2, аргумент x + 1 = 0,5; числитель log₂(0,5 · 4) = 1, знаменатель log_{0,5}2 = −1, дробь равна −1.