условие

log3x⁡127⋅log3⁡27x+9≥0

шаг 1.Область допустимых значений

Основание 3x положительно и не равно единице, аргумент 27x положителен. Число 1/27 положительно само по себе.

ОДЗ
{3x>0,3x≠127x>0⟺{x>0x≠13

Условие 27x > 0 совпадает с x > 0 и нового ограничения не даёт.

шаг 2.Переходим к основанию 3

Основание первого логарифма переменное, поэтому переводим его к постоянному основанию 3Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм loga⁡b требует a>0,a≠1,b>0.
Степень выносим с модулем
Тождество loga⁡bn=nloga⁡b верно только при b>0. При чётном показателе b2k определено и для b<0, поэтому обязателен модуль:
loga⁡b2k=2kloga⁡|b|
У нас 16log3⁡(x+1)6=log3⁡|x+1|. Без модуля потеряли бы ветку x<−1 и корень x=−4.
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход cloga⁡b=loga⁡bc при чётном c расширяет область: 2loga⁡x=loga⁡x2 — слева x>0, справа x≠0. Появляются посторонние корни x<0; держим исходное b>0 или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
loga⁡f+loga⁡g=loga⁡(fg)
loga⁡f−loga⁡g=loga⁡fg
ОДЗ уже требует f>0 и g>0 — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
loga⁡(fg) определён при fg>0, loga⁡fg — при fg>0 (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на loga⁡f±loga⁡g, силой требуем f>0,g>0 и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
loga⁡(fg)=loga⁡|f|+loga⁡|g|
Смена основания — безопасно
loga⁡b=logc⁡blogc⁡a и loga⁡b=1logb⁡a — область не меняется (нужно c>0,c≠1, для второй b≠1).
Основное тождество
aloga⁡b=b(b>0), loga⁡ak=k — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма (c=loga⁡ac).
. После этого во всём неравенстве остаётся единственное «переменное» выражение — log₃x.
loga⁡b=log3⁡blog3⁡a
log3⁡127=log3⁡3−3=−3
log3⁡3x=log3⁡3+log3⁡x=1+log3⁡x
log3⁡27x=log3⁡27+log3⁡x=3+log3⁡x
−31+log3⁡x⋅(3+log3⁡x)+9≥0

Смена основания не меняет области определения — нужно лишь новое основание 3 > 0 и 3 ≠ 1. Логарифм произведения раскрывается в сумму: оба сомножителя (3 и x, 27 и x) положительны на ОДЗ.

шаг 3.Делаем замену

Обозначим t = log₃x. Условие x ≠ 1/3 из ОДЗ превращается в t ≠ −1. Приводим левую часть к одной дроби.

t=log3⁡x,t≠−1
−3(3+t)1+t+9≥0
−3(3+t)+9(1+t)1+t≥0
−9−3t+9+9t1+t≥0
6t1+t≥0

При x = 1/3 основание 3x равно единице — логарифм не определён, поэтому t = log₃(1/3) = −1 исключено. Общий знаменатель 1 + t; после приведения подобных в числителе остаётся 6t.

шаг 4.Метод интервалов

Корень числителя: t = 0 — закрашен (нестрогое ≥). Точка разрыва: t = −1 — выколота.

+−+1−0
−∞
+∞
t

Пробная точка t = −2: 6·(−2) : (−2 + 1) = −12 : (−1) = 12 > 0 — знак «+»; через простые корни знаки чередуются. Решение: t < −1 или t ≥ 0.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x. Логарифм по основанию 3 > 1 возрастает,Логарифм и знак неравенства
Функция y=loga⁡x монотонна при x>0. При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: loga⁡A≶loga⁡B⟺A≶B (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, loga⁡A≤loga⁡B⟺A≥B.
Число c превращаем в логарифм того же основания: c=loga⁡ac — тогда сравниваем аргументы (не забывая A>0).
 поэтому неравенства для t переносятся на аргументы без смены знака.
1)log3⁡x<−1
log3⁡x<log3⁡13
0<x<13
2)log3⁡x≥0
log3⁡x≥log3⁡1
x≥1

Число −1 записали как log₃(1/3), а 0 — как log₃1: логарифмы того же основания 3. Левая граница первого случая берётся из ОДЗ: там уже требуется x > 0.

ответ

x∈(0;13)∪[1;+∞)
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -