условие
шаг 1.Область допустимых значений
У обоих логарифмов одно основание x + 7: оно положительно и не равно единице. Оба аргумента положительны; условие для второго аргумента решаем методом интервалов.
Пробная точка x = 4 в дроби (x + 1) : (x − 3) даёт 5 : 1 = 5 > 0 — знак «+», дальше знаки чередуются: x < −1 или x > 3. Чётная степень положительна ровно тогда, когда её основание отлично от нуля, поэтому условие с квадратом даёт лишь x ≠ 3 (и x ≠ −1, чтобы дробь была определена) — оно уже внутри x < −1 или x > 3. Итог ОДЗ: x ∈ (−7; −6) ∪ (−6; −1) ∪ (3; +∞).
шаг 2.Сворачиваем логарифмы в один
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Квадрат не замечает смены знака основания: (3 − x)² = (x − 3)². Общая формула log_a(f²) = 2 · log_a|f|; здесь модуль не нужен, потому что на ОДЗ дробь положительна.
шаг 3.Метод рационализации
Проверка по Виета: для x² + 7x + 10 сумма корней должна равняться −7, произведение — 10. У нас −2 + (−5) = −7 и (−2)·(−5) = 10 — оба сходятся. Минус перед произведением оставляем и на −1 неравенство не домножаем: знак определит пробная точка.
шаг 4.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ
Корни числителя: −6, −5 и −2 — закрашены (нестрогое ≤). Точка разрыва знаменателя x = −1 выколота. Все точки простые, знак меняется через каждую.
Пробная точка x = 0 на интервале (−1; +∞): −(0 + 6)(0 + 2)(0 + 5) : (0 + 1) = −60 < 0 — знак «−», интервал входит в решение; дальше знаки чередуются. Пересечение с ОДЗ: из (−∞; −6] остаётся только (−7; −6), потому что x = −6 выколото (там основание равно единице); отрезок [−5; −2] сохраняется целиком; из (−1; +∞) остаётся (3; +∞).