условие
шаг 1.Область допустимых значений
У обоих логарифмов одно основание x + 6: оно положительно и не равно единице. Оба аргумента положительны; условие для второго аргумента решаем методом интервалов.
Пробная точка x = 5 в дроби x : (x − 4) даёт 5 : 1 = 5 > 0 — знак «+», дальше знаки чередуются: x < 0 или x > 4. Чётная степень положительна ровно тогда, когда её основание отлично от нуля, поэтому условие с квадратом даёт лишь x ≠ 4 (и x ≠ 0, чтобы дробь была определена) — оно уже внутри x < 0 или x > 4. Итог ОДЗ: x ∈ (−6; −5) ∪ (−5; 0) ∪ (4; +∞).
шаг 2.Сворачиваем логарифмы в один
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Общая формула log_a(f²) = 2 · log_a|f|; здесь модуль не нужен, потому что на ОДЗ дробь положительна.
шаг 3.Метод рационализации
Корни x² + 5x + 4 ловятся устно: по теореме Виета их сумма равна −5, а произведение равно 4 — подходят −1 и −4. Минус перед произведением оставляем и на −1 неравенство не домножаем: знак определит пробная точка.
шаг 4.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ
Корни числителя: −5, −4 и −1 — закрашены (нестрогое ≤). Точка разрыва знаменателя x = 0 выколота. Все точки простые, знак меняется через каждую.
Пробная точка x = 1 на интервале (0; +∞): −(1 + 5)(1 + 1)(1 + 4) : 1 = −60 < 0 — знак «−», интервал входит в решение; дальше знаки чередуются. Пересечение с ОДЗ: из (−∞; −5] остаётся только (−6; −5), потому что x = −5 выколото (там основание равно единице); отрезок [−4; −1] сохраняется целиком; из (0; +∞) остаётся (4; +∞).