Задача 10151312 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{2}^{2} (3 x - 1) + \log_{3 x - 1}^{2} 2 - \log_{2} {(3 x - 1)}^{2} - \log_{3 x - 1} 4 + 2 \leq 0

Основание 3x − 1 положительно и не равно единице, аргумент 3x − 1 в первом логарифме положителен. Отсюда x > 1/3 и x ≠ 2/3.

ОДЗ

3 x - 1 > 0 ⟺ x > \frac{1}{3}

3 x - 1 \neq 1 ⟺ x \neq \frac{2}{3}

Аргументы (3x − 1)², 2, 4 положительны автоматически. Ограничения дают только основание 3x − 1.

Все логарифмы выражаем через t. Логарифмы с основанием 3x − 1 обратны t, а степени в аргументе и основании выносятся множителями.

t = \log_{2} (3 x - 1)

\log_{3 x - 1} 2 = \frac{1}{t}, \log_{2} {(3 x - 1)}^{2} = 2 t

\log_{3 x - 1} 4 = \frac{\log_{2} 4}{\log_{2} (3 x - 1)} = \frac{2}{t}

По ОДЗ 3x − 1 ≠ 1, поэтому t ≠ 0 — деление на t корректно.

Подставляем и умножаем на t² > 0. Многочлен t⁴ − 2t³ + 2t² − 2t + 1 раскладывается как (t² + 1)(t − 1)².

t^{2} + \frac{1}{t^{2}} - 2 t - \frac{2}{t} + 2 \leq 0

t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{2} - 2 t + 1 \leq 0

(t^{2} + 1) (t - 1)^{2} \leq 0

(t² + 1)² − 2t(t² + 1) = (t² + 1)(t² − 2t + 1) = (t² + 1)(t − 1)². Множитель t² + 1 > 0 при любом t.

Множители t² + 1 > 0 и (t − 1)² ≥ 0, поэтому произведение не отрицательно и обращается в ноль лишь при t = 1. Возвращаемся к x.

(t^{2} + 1) (t - 1)^{2} \leq 0 ⟺ t = 1

\log_{2} (3 x - 1) = 1 ⟺ 3 x - 1 = 2 ⟺ x = 1

x = 1 лежит в ОДЗ (1 > 1/3 и 1 ≠ 2/3), поэтому входит в ответ.

x \in {1}