Задача 10151306 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Основания логарифмов x и 4x положительны и не равны единице; аргументы x/4 и 2x² положительны.

ОДЗ

{\begin{matrix} x > 0, x \neq 1 \\ 4 x > 0, 4 x \neq 1 \\ \frac{x}{4} > 0 \\ 2 x^{2} > 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x \neq 0,25 \end{matrix}

При x > 0 аргументы x/4 и 2x² положительны автоматически. Из 4x ≠ 1 получаем x ≠ 0,25.

шаг 2.Разбираем произведение

Переносим всё влево и выносим общий множитель — модуль. Он неотрицателен, поэтому произведение не положительно либо когда модуль равен нулю, либо когда скобка не положительна.

| \log_{x} \frac{x}{4} | \cdot \log_{4 x} (2 x^{2}) - | \log_{x} \frac{x}{4} | \leq 0

| \log_{x} \frac{x}{4} | \cdot (\log_{4 x} (2 x^{2}) - 1) \leq 0

1) | \log_{x} \frac{x}{4} | = 0

2) {\begin{matrix} | \log_{x} \frac{x}{4} | > 0 \\ \log_{4 x} (2 x^{2}) - 1 \leq 0 \end{matrix}

Условие |…| > 0 в случае 2 отдельно не решаем: оно выполнено везде, кроме нулей модуля, а они разобраны в случае 1.

шаг 3.Случай 1: модуль равен нулю

Модуль обращается в ноль вместе со своим содержимым.

\log_{x} \frac{x}{4} = 0

\log_{x} \frac{x}{4} = \log_{x} 1

\frac{x}{4} = 1 ⟺ x = 4

Потенцирование — операция, обратная логарифмированию: записываем ноль как log_x 1 и снимаем логарифмы. Точка x = 4 входит в ОДЗ — это изолированная точка ответа: в ней всё произведение равно нулю.

шаг 4.Случай 2: приводим логарифм к основанию 2

Переходим к основанию 2 и раскладываем логарифмы произведений. Затем обозначаем t = log₂x.

\log_{4 x} (2 x^{2}) = \frac{\log_{2} (2 x^{2})}{\log_{2} 4 x}

\log_{2} (2 x^{2}) = 1 + 2 \log_{2} x

\log_{2} 4 x = 2 + \log_{2} x

t = \log_{2} x

\frac{1 + 2 t}{2 + t} \leq 1

На ОДЗ x > 0, поэтому log₂x² = 2log₂x без модуля. Знаменатель 2 + t = log₂4x в ноль не обращается: по ОДЗ 4x ≠ 1.

шаг 5.Решаем неравенство относительно t

Корень числителя: 1 — закрашен (нестрогое ≤). Точка разрыва знаменателя: −2 — выколота.

\frac{1 + 2 t}{2 + t} - 1 \leq 0

\frac{1 + 2 t - (2 + t)}{2 + t} \leq 0

\frac{t - 1}{t + 2} \leq 0

Пробная точка t = 0: (0 − 1) : (0 + 2) = −1/2 < 0 → на интервале (−2; 1) знак «−». Знаки чередуются. Решение: −2 < t ≤ 1.

шаг 6.Обратная замена

Подставляем t = log₂x, записываем границы как логарифмы степеней двойки и снимаем логарифмы: основание 2 > 1, логарифм возрастает — знаки сохраняются.

- 2 < \log_{2} x \leq 1

\log_{2} 2^{- 2} < \log_{2} x \leq \log_{2} 2

2^{- 2} < x \leq 2

0,25 < x \leq 2

по ОДЗ x \neq 1 :

x \in (0,25; 1) \cup (1; 2]

Точка x = 1 выколота по ОДЗ: при ней основание первого логарифма равно единице.

шаг 7.Объединяем случаи

Ответ — интервалы из случая 2 вместе с изолированной точкой из случая 1.

Точки x = 0,25 и x = 1 выколоты по ОДЗ (при них основания 4x и x равны единице). Точка x = 2 закрашена (нестрогое ≤); x = 4 — изолированная точка из случая 1.

условие