условие
шаг 1.Область допустимых значений
Основание степени 7 в степени x + 3 положительно всегда, но не должно равняться единице. Аргументы всех логарифмов положительны, а логарифмы, стоящие в знаменателях, не обращаются в ноль.
Внутренний логарифм справа считается сразу: основание 1/7 — это 7 в степени −1, поэтому log_{1/7}7^x = −x. Оба условия −49x > 0 и −x > 0 дают одно и то же ограничение x < 0.
шаг 2.Приводим все логарифмы к основанию 7
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Множитель 1 : (x + 3) стоит и в числителе, и в знаменателе левой дроби, поэтому сокращается — «неудобное» основание 7^{x+3} из неравенства уходит. Разложение log₇(−49x) = log₇49 + log₇(−x) законно: числа 49 и −x на ОДЗ положительны.
шаг 3.Делаем замену
Обозначим t = log₇(−x). Обе части становятся простыми дробями; переносим всё влево и приводим к общему знаменателю.
Переменная t пробегает всю числовую прямую: логарифм принимает любые значения. Точки t = 0 и t = −2 — это в точности x = −1 и x = −1/49 из ОДЗ; они становятся точками разрыва дроби.
шаг 4.Метод интервалов в t
Корень числителя: t = 2 — закрашен (нестрогое ≤). Точки разрыва знаменателя: t = −2 и t = 0 — выколоты. Все корни простые, знаки чередуются.
Пробная точка t = 1 на интервале (0; 2): (1 − 2) : (1·(1 + 2)) = −1 : 3 < 0 — знак «−». Решение: t < −2 или 0 < t ≤ 2.
шаг 5.Обратная замена
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
В первом случае нижнюю границу −x > 0 добавляем явно: логарифм существует только при положительном аргументе. Умножая двойное неравенство на −1, меняем направление: из 1 < −x ≤ 49 получаем −49 ≤ x < −1.
шаг 6.Пересечение с ОДЗ
Осталось выбросить точку x = −3: там основание степени равно единице. Она лежит внутри промежутка от −49 до −1 и разрезает его на две части.
Точка −49 закрашена: там обе части неравенства равны 1/2, и нестрогое ≤ выполняется как равенство. Остальные границы перешли из обратной замены без изменений, а точка −3 выколота по ОДЗ.