Задача 10151304 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Основания логарифмов x, 3x и 9x положительны и не равны единице; аргумент 3 положителен сам по себе.

ОДЗ

{\begin{matrix} x > 0, x \neq 1 \\ 3 x > 0, 3 x \neq 1 \\ 9 x > 0, 9 x \neq 1 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x \neq \frac{1}{3} \\ x \neq \frac{1}{9} \end{matrix}

Условия 3x > 0 и 9x > 0 следуют из x > 0. Из 3x ≠ 1 получаем x ≠ 1/3, из 9x ≠ 1 — x ≠ 1/9.

шаг 2.Переходим к основанию 3

У всех трёх логарифмов один аргумент 3, но разные основания. Переворачиваем каждый по формуле log_a b = 1 : log_b a и раскладываем логарифм произведения.

\log_{x} 3 = \frac{1}{\log_{3} x}

\log_{3 x} 3 = \frac{1}{\log_{3} 3 x} = \frac{1}{1 + \log_{3} x}

\log_{9 x} 3 = \frac{1}{\log_{3} 9 x} = \frac{1}{2 + \log_{3} x}

log₃3x = log₃3 + log₃x = 1 + log₃x, log₃9x = log₃9 + log₃x = 2 + log₃x. На ОДЗ x > 0, поэтому оба множителя под логарифмом положительны и раскладывать сумму можно.

шаг 3.Делаем замену

Обозначим t = log₃x. Ограничения ОДЗ x ≠ 1, x ≠ 1/3, x ≠ 1/9 превращаются ровно в нули знаменателей.

t = \log_{3} x, t \neq 0, t \neq - 1, t \neq - 2

\frac{1}{t} + \frac{2}{t + 1} - \frac{6}{t + 2} \leq 0

x = 1 даёт t = 0, x = 1/3 даёт t = −1, x = 1/9 даёт t = −2.

шаг 4.Приводим к одной дроби

Общий знаменатель — произведение всех трёх знаменателей. Числитель раскрываем и приводим подобные.

\frac{(t + 1) (t + 2) + 2 t (t + 2) - 6 t (t + 1)}{t (t + 1) (t + 2)} \leq 0

\frac{(t^{2} + 3 t + 2) + (2 t^{2} + 4 t) - (6 t^{2} + 6 t)}{t (t + 1) (t + 2)} \leq 0

\frac{- 3 t^{2} + t + 2}{t (t + 1) (t + 2)} \leq 0

- 3 t^{2} + t + 2 = - (3 t^{2} - t - 2)

D = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2) = 1 + 24 = 25

t = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{6} = \frac{1 \pm 5}{6} \begin{matrix} = 1 \\ = - \frac{2}{3} \end{matrix}

- 3 t^{2} + t + 2 = - 3 (t - 1) (t + \frac{2}{3})

\frac{- 3 (t - 1) (t + \frac{2}{3})}{t (t + 1) (t + 2)} \leq 0

Старший коэффициент −3 из скобки не вносим: в форме −3(t − 1)(t + 2/3) корни 1 и −2/3 видны прямо в скобках.

шаг 5.Метод интервалов в t

Корни числителя: −2/3 и 1 — закрашены (нестрогое ≤). Точки разрыва знаменателя: −2, −1 и 0 — выколоты. Все корни простые, знаки чередуются.

Пробная точка t = −3: числитель −3·(−3 − 1)·(−3 + 2/3) = −3·(−4)·(−7/3) = −28, знаменатель (−3)·(−3 + 1)·(−3 + 2) = (−3)·(−2)·(−1) = −6, дробь −28 : (−6) = 14/3 > 0 → на интервале (−∞; −2) знак «+». Решение: −2 < t < −1, или −2/3 ≤ t < 0, или t ≥ 1.

шаг 6.Обратная замена

Подставляем t = log₃x, записываем границы как логарифмы степеней тройки и снимаем логарифмы: основание 3 > 1, логарифм возрастает — знаки сохраняются.

1) - 2 < \log_{3} x < - 1

\log_{3} 3^{- 2} < \log_{3} x < \log_{3} 3^{- 1}

3^{- 2} < x < 3^{- 1}

\frac{1}{9} < x < \frac{1}{3}

2) - \frac{2}{3} \leq \log_{3} x < 0

\log_{3} 3^{- \frac{2}{3}} \leq \log_{3} x < \log_{3} 3^{0}

3^{- \frac{2}{3}} \leq x < 3^{0}

\frac{1}{\sqrt[3]{9}} \leq x < 1

3) \log_{3} x \geq 1

\log_{3} x \geq \log_{3} 3

x \geq 3

Здесь 3 в степени −2/3 равно 1 : ∛9 ≈ 0,48. Выколоты 1/9, 1/3 (строгие границы) и точка 1 (исключена ОДЗ); закрашены 1/∛9 и 3.

условие