Задача 10151303 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Числитель и знаменатель — логарифмы с одним и тем же основанием. Степень двойки положительна всегда, поэтому от основания остаётся только условие «не равно единице»; показательная функция возрастает, значит равенство степеней равносильно равенству показателей. Аргумент внешнего логарифма в числителе — это внутренний логарифм, значит он строго положителен, а знаменатель дроби в ноль не обращается.

ОДЗ

{\begin{matrix} 2^{{(x - 1)}^{2} - 1} > 0, 2^{{(x - 1)}^{2} - 1} \neq 1 \\ 2 x^{2} - 2 x + 3 > 0, 2 x^{2} - 2 x + 3 \neq 1 \\ \log_{2 x^{2} - 2 x + 3} (x^{2} - 4 x + 3) > 0 \\ \log_{2^{{(x - 1)}^{2} - 1}} (x^{2} + 4 x + 5) \neq 0 \end{matrix}

2^{{(x - 1)}^{2} - 1} > 0 при всех x

2^{{(x - 1)}^{2} - 1} \neq 1 ⟺ 2^{{(x - 1)}^{2} - 1} \neq 2^{0} ⟺

{(x - 1)}^{2} - 1 \neq 0 ⟺ {(x - 1)}^{2} \neq 1 ⟺ x \neq 0, x \neq 2

2 x^{2} - 2 x + 3 - 1 = 2 (x^{2} - x + 1), D = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = - 3 < 0

2 x^{2} - 2 x + 3 > 1

\log_{2 x^{2} - 2 x + 3} (x^{2} - 4 x + 3) > 0 ⟺ x^{2} - 4 x + 3 > 1

x^{2} - 4 x + 2 > 0

D = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8

x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}

[\begin{matrix} x < 2 - \sqrt{2} \\ x > 2 + \sqrt{2} \end{matrix}

x^{2} + 4 x + 5 = {(x + 2)}^{2} + 1 \geq 1

x^{2} + 4 x + 5 \neq 1 ⟺ {(x + 2)}^{2} \neq 0 ⟺ x \neq - 2

x \in (- \infty; 2 - \sqrt{2}) \cup (2 + \sqrt{2}; + \infty), x \neq - 2, x \neq 0

Основание 2x² − 2x + 3 больше единицы при любом x, так что своих ограничений оно не даёт; парабола x² − 4x + 2 ветвями вверх, поэтому x² − 4x + 2 > 0 вне корней. Условие x ≠ 2 выполняется само: точка 2 лежит между 2 − √2 и 2 + √2 и уже выброшена.

шаг 2.Переходим к одному логарифму

Числитель и знаменатель — логарифмы с одним основанием, а отношение таких логарифмов само является логарифмом: основанием становится аргумент знаменателя. Громоздкое основание из условия при этом уходит совсем — от него остаются только ограничения ОДЗ.

\frac{\log_{a} P}{\log_{a} Q} = \log_{Q} P

\log_{x^{2} + 4 x + 5} (\log_{2 x^{2} - 2 x + 3} (x^{2} - 4 x + 3)) \geq 0

Это формула перехода к новому основанию: log_Q P = log_a P : log_a Q. Здесь a — общее основание 2^{(x−1)²−1}, Q = x² + 4x + 5, а P — внутренний логарифм. Все условия формулы (a > 0, a ≠ 1, Q > 0, Q ≠ 1, P > 0) выполнены по ОДЗ.

шаг 3.Снимаем внешний логарифм

Новое основание — это полный квадрат плюс единица, и по ОДЗ оно строго больше единицы. Значит логарифм возрастает, и знак неравенства сохраняется. Ноль записываем как логарифм того же основания.

x^{2} + 4 x + 5 = {(x + 2)}^{2} + 1 > 1 при x \neq - 2

\log_{x^{2} + 4 x + 5} (\log_{2 x^{2} - 2 x + 3} (x^{2} - 4 x + 3)) \geq \log_{x^{2} + 4 x + 5} 1

\log_{2 x^{2} - 2 x + 3} (x^{2} - 4 x + 3) \geq 1

Возрастающий логарифм не меньше нуля ровно тогда, когда его аргумент не меньше единицы.

шаг 4.Снимаем внутренний логарифм

Основание 2x² − 2x + 3 тоже больше единицы — это уже проверено в ОДЗ. Единицу справа записываем как логарифм этого же основания и сравниваем аргументы.

\log_{2 x^{2} - 2 x + 3} (x^{2} - 4 x + 3) \geq \log_{2 x^{2} - 2 x + 3} (2 x^{2} - 2 x + 3)

x^{2} - 4 x + 3 \geq 2 x^{2} - 2 x + 3

0 \geq x^{2} + 2 x

x^{2} + 2 x \leq 0

x (x + 2) \leq 0

Переносим всё в правую часть: 2x² − 2x + 3 − x² + 4x − 3 = x² + 2x. Поменяв стороны местами, переворачиваем знак. Общий множитель x выносим сразу — корни 0 и −2 видны без дискриминанта.

шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Корни левой части: −2 и 0 — закрашены (нестрогое ≤), точек разрыва у произведения нет. Ось ОДЗ выкалывает −2 и 0 и обрезает область справа от 2 − √2.

Пробная точка x = −1 на интервале (−2; 0): (−1)·(−1 + 2) = (−1)·1 = −1 < 0 — знак «−», это и есть решение нестрогого ≤ 0; через простые корни знаки чередуются «+, −, +». Пересечение с ОДЗ выкалывает обе границы: при x = −2 знаменатель дроби обращается в ноль, при x = 0 основание равно единице.

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Переходим к одному логарифму

шаг 3.Снимаем внешний логарифм

шаг 4.Снимаем внутренний логарифм

шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

ответ