Задача 10151302 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Числитель и знаменатель — логарифмы с одним и тем же основанием: оно должно быть положительным и не равным единице. Показательная функция возрастает, поэтому сравнение степеней двойки сводится к сравнению показателей. Аргумент внешнего логарифма в числителе — это внутренний логарифм, значит он строго положителен, а знаменатель дроби в ноль не обращается.

ОДЗ

{\begin{matrix} 2^{{(x + 1)}^{2}} - 1 > 0, 2^{{(x + 1)}^{2}} - 1 \neq 1 \\ 2 x^{2} + 2 x + 3 > 0, 2 x^{2} + 2 x + 3 \neq 1 \\ \log_{2 x^{2} + 2 x + 3} (x^{2} - 2 x) > 0 \\ \log_{2^{{(x + 1)}^{2}} - 1} (x^{2} + 6 x + 10) \neq 0 \end{matrix}

2^{{(x + 1)}^{2}} - 1 > 0 ⟺ 2^{{(x + 1)}^{2}} > 2^{0} ⟺ {(x + 1)}^{2} > 0 ⟺ x \neq - 1

2^{{(x + 1)}^{2}} - 1 \neq 1 ⟺ 2^{{(x + 1)}^{2}} \neq 2^{1} ⟺

{(x + 1)}^{2} \neq 1 ⟺ x + 1 \neq \pm 1 ⟺ x \neq 0, x \neq - 2

2 x^{2} + 2 x + 3 - 1 = 2 (x^{2} + x + 1), D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = - 3 < 0

2 x^{2} + 2 x + 3 > 1

\log_{2 x^{2} + 2 x + 3} (x^{2} - 2 x) > 0 ⟺ x^{2} - 2 x > 1

x^{2} - 2 x - 1 > 0

D = {(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 4 + 4 = 8

x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}

[\begin{matrix} x < 1 - \sqrt{2} \\ x > 1 + \sqrt{2} \end{matrix}

x^{2} + 6 x + 10 = {(x + 3)}^{2} + 1 \geq 1

x^{2} + 6 x + 10 \neq 1 ⟺ {(x + 3)}^{2} \neq 0 ⟺ x \neq - 3

x \in (- \infty; 1 - \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}; + \infty), x \neq - 3, x \neq - 2, x \neq - 1

Показатель (x + 1)² неотрицателен и обращается в ноль только при x = −1, поэтому 2^{(x+1)²} − 1 > 0 равносильно x ≠ −1. Основание 2x² + 2x + 3 больше единицы при любом x, так что своих ограничений оно не даёт; парабола x² − 2x − 1 ветвями вверх, поэтому x² − 2x − 1 > 0 вне корней. Условие x ≠ 0 выполняется само: точка 0 лежит между 1 − √2 и 1 + √2 и уже выброшена.

шаг 2.Переходим к одному логарифму

Числитель и знаменатель — логарифмы с одним основанием, а отношение таких логарифмов само является логарифмом: основанием становится аргумент знаменателя. Громоздкое основание из условия при этом уходит совсем — от него остаются только ограничения ОДЗ.

\frac{\log_{a} P}{\log_{a} Q} = \log_{Q} P

\log_{x^{2} + 6 x + 10} (\log_{2 x^{2} + 2 x + 3} (x^{2} - 2 x)) \geq 0

Это формула перехода к новому основанию: log_Q P = log_a P : log_a Q. Здесь a — общее основание 2^{(x+1)²} − 1, Q = x² + 6x + 10, а P — внутренний логарифм. Все условия формулы (a > 0, a ≠ 1, Q > 0, Q ≠ 1, P > 0) выполнены по ОДЗ.

шаг 3.Снимаем внешний логарифм

Новое основание — это полный квадрат плюс единица, и по ОДЗ оно строго больше единицы. Значит логарифм возрастает, и знак неравенства сохраняется. Ноль записываем как логарифм того же основания.

x^{2} + 6 x + 10 = {(x + 3)}^{2} + 1 > 1 при x \neq - 3

\log_{x^{2} + 6 x + 10} (\log_{2 x^{2} + 2 x + 3} (x^{2} - 2 x)) \geq \log_{x^{2} + 6 x + 10} 1

\log_{2 x^{2} + 2 x + 3} (x^{2} - 2 x) \geq 1

Возрастающий логарифм не меньше нуля ровно тогда, когда его аргумент не меньше единицы.

шаг 4.Снимаем внутренний логарифм

Основание 2x² + 2x + 3 тоже больше единицы — это уже проверено в ОДЗ. Единицу справа записываем как логарифм этого же основания и сравниваем аргументы.

\log_{2 x^{2} + 2 x + 3} (x^{2} - 2 x) \geq \log_{2 x^{2} + 2 x + 3} (2 x^{2} + 2 x + 3)

x^{2} - 2 x \geq 2 x^{2} + 2 x + 3

0 \geq x^{2} + 4 x + 3

x^{2} + 4 x + 3 \leq 0

(x + 1) (x + 3) \leq 0

Переносим всё в правую часть: 2x² + 2x + 3 − x² + 2x = x² + 4x + 3. Поменяв стороны местами, переворачиваем знак. Проверка по Виета для x² + 4x + 3: сумма корней должна равняться −4, произведение — 3. Подходят −1 и −3, отсюда x² + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3).

шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Корни левой части: −3 и −1 — закрашены (нестрогое ≤), точек разрыва у произведения нет. Ось ОДЗ выкалывает −3, −2 и −1 и обрезает область справа от 1 − √2.

Пробная точка x = −2 на интервале (−3; −1): (−2 + 1)(−2 + 3) = (−1)·1 = −1 < 0 — знак «−», это и есть решение нестрогого ≤ 0; через простые корни знаки чередуются «+, −, +». Пересечение с ОДЗ выкалывает обе границы −3 и −1, а также точку −2 (там основание равно единице), поэтому отрезок распадается на два интервала.

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Переходим к одному логарифму

шаг 3.Снимаем внешний логарифм

шаг 4.Снимаем внутренний логарифм

шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

ответ