условие
шаг 1.Область допустимых значений
Положительны аргументы всех логарифмов: у внутренних 8 − x и x + 17, у правого x² − 6x.
Пробная точка x = −1 для третьего условия: (−1)·(−1 − 6) = 7 > 0 — знак «+» левее нуля, чередование «+, −, +». Аргумент внешнего логарифма отдельного условия не даёт: он равен (8 − x) + (x + 17) = 25 > 0 при любом x из первых двух условий. Пересечение трёх условий — (−17; 0) ∪ (6; 8).
шаг 2.Сворачиваем левую часть
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
log₅25 = 2, потому что 5² = 25. Переменная слева сокращается полностью — вся левая часть равна числу 3.
шаг 3.Снимаем логарифм справа
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Знак «≥» сменился на «≤» не из-за умножения на −1, а потому что мы поменяли стороны местами: 3 ≥ log₃A ⟺ log₃A ≤ 3. По теореме Виета для x² − 6x − 27 = 0: сумма корней должна равняться 6, произведение — −27. Подбираем −3 и 9, отсюда x² − 6x − 27 = (x + 3)(x − 9). Пробная точка x = 0: (0 + 3)(0 − 9) = −27 < 0 — знак «−» между корнями, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≤).
шаг 4.Пересечение с ОДЗ
Решение неравенства −3 ≤ x ≤ 9 пересекаем с ОДЗ (−17; 0) ∪ (6; 8).
Левый край −17 и правый край 9 отсекаются: ОДЗ обрывается в нуле, а решение неравенства — в девятке. Граница x = −3 закрашена (нестрогое ≤) и лежит внутри ОДЗ; точки 0, 6, 8 выколоты по ОДЗ.