Задача 10151268 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

3^{\lg x} + 6 \frac{2}{3} \cdot 3^{0,5 \lg x} \cdot 2^{0,5 (\lg x - 6)} \leq 2^{\lg x}

шаг 1.Область допустимых значений

Десятичный логарифм lg x определён только при положительном x.

ОДЗ

x > 0

Это условие в конце пересечём с решением.

шаг 2.Делим на 2^{lg x} > 0

Смешанное число 6⅔ = 20/3. Раскрываем 2^{0,5(lg x − 6)} = 2^{0,5 lg x − 3} и делим обе части на 2^{lg x} > 0. Одинаковые основания собираются в (3/2) в степени.

3^{\lg x} + \frac{20}{3} \cdot 3^{0,5 \lg x} \cdot 2^{0,5 \lg x - 3} \leq 2^{\lg x}

{(\frac{3}{2})}^{\lg x} + \frac{20}{3} \cdot 2^{- 3} {(\frac{3}{2})}^{0,5 \lg x} \leq 1

{(\frac{3}{2})}^{\lg x} + \frac{5}{6} {(\frac{3}{2})}^{0,5 \lg x} \leq 1

3^{0,5 lg x}·2^{−0,5 lg x} = (3/2)^{0,5 lg x}; коэффициент 20/3 · 1/8 = 5/6.

шаг 3.Замена s = (3/2)^{0,5 lg x}

Обозначим s = (3/2)^{0,5 lg x}, причём s > 0. Тогда (3/2)^{lg x} = s². Неравенство становится квадратным.

s = {(\frac{3}{2})}^{0,5 \lg x} > 0, {(\frac{3}{2})}^{\lg x} = s^{2}

s^{2} + \frac{5}{6} s \leq 1

6 s^{2} + 5 s - 6 \leq 0

шаг 4.Квадратное неравенство

Находим корни 6s² + 5s − 6 = 0 и раскладываем на множители. Парабола ветвями вверх, поэтому «≤ 0» — между корнями. Учитывая s > 0, остаётся 0 < s ≤ 2/3.

6 s^{2} + 5 s - 6 = 0

D = 5^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 6) = 25 + 144 = 169

s = \frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{12} \begin{matrix} = \frac{2}{3} \\ = - \frac{3}{2} \end{matrix}

6 s^{2} + 5 s - 6 = (3 s - 2) (2 s + 3) \leq 0

Пробная точка s = 0: 6·0² + 5·0 − 6 = −6 < 0 — знак «−» между корнями, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≤). Выноска от нуля — условие замены s = (3/2)^{0,5 lg x} > 0: из отрезка [−3/2; 2/3] остаётся 0 < s ≤ 2/3.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x: s ≤ 2/3 при s > 0. Основание 3/2 > 1, функция возрастает. Снимаем степень и пересекаем с ОДЗ x > 0.

{(\frac{3}{2})}^{0,5 \lg x} \leq \frac{2}{3} = {(\frac{3}{2})}^{- 1}

0,5 \lg x \leq - 1 \Rightarrow \lg x \leq - 2

x \leq 10^{- 2} = 0,01

Пересекаем x > 0 с x ≤ 0,01 → 0 < x ≤ 0,01. Левая граница 0 выколота по ОДЗ, правая 0,01 закрашена.

ответ

x \in (0; 0,01]