условие
шаг 1.Область допустимых значений
Основание нижнего логарифма положительно и не равно 1. Аргумент верхнего логарифма после упрощения равен 4(2ˣ − 1)² — он положителен при x ≠ 0, что уже обеспечено условием x > 0.
шаг 2.Упрощаем аргумент верхнего логарифма
Вводим t = 2ˣ и выделяем полный квадрат.
t = 2ˣ. Полный квадрат: t² − 2t + 1 = (t − 1)².
шаг 3.Сводим дробь к квадратной по y
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
y = log₂(2ˣ − 1). log₂4 = 2, поэтому log₂(4(2ˣ − 1)²) = 2 + 2·log₂(2ˣ − 1).
шаг 4.Решаем квадратное неравенство
Неравенство стало квадратным относительно y.
По теореме Виета для y² + y − 20 = 0: сумма корней должна равняться −1, произведение — −20. Подбираем y₁ = −5 и y₂ = 4, отсюда y² + y − 20 = (y + 5)(y − 4). Пробная точка y = 0: (0 + 5)(0 − 4) = −20 < 0 — знак «−» между корнями, чередование «+, −, +». Строгое неравенство — оба корня выколоты: −5 < y < 4.
шаг 5.Возвращаемся к x
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
В точке x = 1 имеем 2ˣ − 1 = 1 — основание нижнего логарифма равно 1, дробь не определена, поэтому x = 1 выколота.