условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргументы обоих логарифмов положительны. Множитель (1/2)^{…} всегда положителен, поэтому всё определяется условием x − 1 > 0. Знаменатель показателя 2x − 7 не равен нулю.
ОДЗ
шаг 2.Снимаем логарифм и делим на (x − 1)
Основание 3 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— сравниваем аргументы. Так как x − 1 > 0, делим на него обе части.шаг 3.Снимаем основание степени
Записываем 1/2 = (1/2)¹. Основание 1/2 принадлежит (0; 1), функция убываетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— при переходе к показателям знак неравенства переворачивается.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
шаг 4.Сводим к одной дроби
Переносим 1 влево и приводим к общему знаменателю.
шаг 5.Метод интервалов в x
Нули: числитель x = 9, знаменатель x = 3,5 — обе точки выколоты (строгое неравенство и знаменатель). Пересекаем с ОДЗ x > 1.
Дробь (9 − x)/(2x − 7) < 0 на (−∞; 3,5) и (9; +∞); ОДЗ x > 1 обрезает левый кусок, остаются (1; 3,5) и (9; +∞). Точка 1 выколота по ОДЗ, 3,5 — нуль знаменателя, 9 — строгим неравенством.