Задача 10151258 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{5} (\frac{81^{x^{2}} - 2 \cdot 3^{2 x^{2}} + 4}{4 \cdot 2^{2 x^{2}} - 2^{2 + x^{2}} + 4}) + 3^{- \log_{3} (2 \cdot 2^{x^{2}} - 1)} > 2^{- \log_{2} (3^{2 x^{2}} - 1)}

шаг 1.Область допустимых значений

Правый показатель определён, когда 3^{2x²} − 1 > 0, то есть x ≠ 0. Средний множитель определён при 2·2^{x²} − 1 > 0 — это верно всегда. Аргумент log₅ положителен при любом x (см. шаг 2).

ОДЗ

3^{2 x^{2}} - 1 > 0 \Rightarrow 3^{2 x^{2}} > 1 \Rightarrow x \neq 0

2 \cdot 2^{x^{2}} - 1 > 0 (верно при любом x)

При x ≠ 0 показатель 2x² > 0, поэтому 3^{2x²} > 1. Значение x = 0 выколото.

шаг 2.Числитель и знаменатель — полные квадраты плюс 3

Так как 81^{x²} = (3^{2x²})² и 2^{2x²} = (2^{x²})², и числитель, и знаменатель сворачиваются в «квадрат плюс 3». Обозначим p = 3^{2x²} − 1 и q = 2·2^{x²} − 1 (на ОДЗ оба положительны).

81^{x^{2}} - 2 \cdot 3^{2 x^{2}} + 4

= {(3^{2 x^{2}})}^{2} - 2 \cdot 3^{2 x^{2}} + 4

= {(3^{2 x^{2}} - 1)}^{2} + 3 = p^{2} + 3

4 \cdot 2^{2 x^{2}} - 2^{2 + x^{2}} + 4

= 4 {(2^{x^{2}})}^{2} - 4 \cdot 2^{x^{2}} + 4

= {(2 \cdot 2^{x^{2}} - 1)}^{2} + 3 = q^{2} + 3

(a − 1)² + 3 = a² − 2a + 4 при a = 3^{2x²}; (2b − 1)² + 3 = 4b² − 4b + 4 при b = 2^{x²}.

шаг 3.Убираем показательно-логарифмические слагаемые

По основному тождеству a^{log_a t} = t оба крайних слагаемых превращаются в дроби 1/q и 1/p. Неравенство записываем через p и q.

3^{- \log_{3} (2 \cdot 2^{x^{2}} - 1)} = \frac{1}{2 \cdot 2^{x^{2}} - 1} = \frac{1}{q}

2^{- \log_{2} (3^{2 x^{2}} - 1)} = \frac{1}{3^{2 x^{2}} - 1} = \frac{1}{p}

\log_{5} \frac{p^{2} + 3}{q^{2} + 3} + \frac{1}{q} > \frac{1}{p}

a^{−log_a w} = 1/w. Здесь w = q для среднего слагаемого и w = p для правой части.

шаг 4.Собираем одну монотонную функцию

Переносим слагаемые так, чтобы слева всё зависело от p, а справа — от q. Получаем g(p) > g(q) для g(s) = log₅(s² + 3) − 1/s. При s > 0 оба слагаемых возрастают, значит g строго возрастает, и неравенство равносильно p > q.

\log_{5} (p^{2} + 3) - \frac{1}{p} > \log_{5} (q^{2} + 3) - \frac{1}{q}

g (s) = \log_{5} (s^{2} + 3) - \frac{1}{s}

g (p) > g (q) ⟺ p > q

При s > 0 растёт и log₅(s² + 3), и −1/s (от −∞ к 0). Сумма двух возрастающих возрастает, поэтому g(p) > g(q) ⟺ p > q.

шаг 5.Решаем p > q

Возвращаем p и q, сокращаем −1. Делим на 2^{x²} > 0 и сравниваем степени с основанием 9/2 > 1. Получаем ограничение на x².

p > q : 3^{2 x^{2}} - 1 > 2 \cdot 2^{x^{2}} - 1

3^{2 x^{2}} > 2 \cdot 2^{x^{2}} \Rightarrow 9^{x^{2}} > 2 \cdot 2^{x^{2}}

{(\frac{9}{2})}^{x^{2}} > 2 \Rightarrow x^{2} > \log_{4,5} 2

| x | > \sqrt{\log_{4,5} 2}

Всё выражено через x², поэтому решение симметрично относительно нуля.

ответ

x \in (- \infty; - \sqrt{\log_{4,5} 2}) \cup (\sqrt{\log_{4,5} 2}; + \infty)