Задача 10151257 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

5 \cdot 4^{\log_{2}^{2} (4 x)} - 9 \cdot {(4 x)}^{\log_{2} (4 x)} - 2 \leq 0

Логарифм определён при 4x > 0, то есть x > 0.

ОДЗ

4 x > 0 \Rightarrow x > 0

Обозначим L = log₂(4x). Поскольку 4x = 2ᴸ, степень (4x)ᴸ = 2^{L²}, а 4^{L²} = (2^{L²})². Значит обе степени выражаются через y = (4x)ᴸ.

{(4 x)}^{\log_{2} (4 x)} = {(2^{L})}^{L} = 2^{L^{2}}

4^{\log_{2}^{2} (4 x)} = 2^{2 L^{2}} = {(2^{L^{2}})}^{2}

Подставляем y = 2^{L²}: первое слагаемое — y², второе — y. Получаем квадратное неравенство.

y = 2^{L^{2}} > 0 : 5 y^{2} - 9 y - 2 \leq 0

5 y^{2} - 9 y - 2 = 0, D = 81 + 40 = 121

y = \frac{9 \pm \sqrt{121}}{10} \begin{matrix} = 2 \\ = - \frac{1}{5} \end{matrix}

- \frac{1}{5} \leq y \leq 2

Так как L² ≥ 0, степень y = 2^{L²} ≥ 1. Вместе с y ≤ 2 это даёт 1 ≤ y ≤ 2. Основание 2 > 1, функция возрастает — переходим к показателю степени.

1 \leq 2^{L^{2}} \leq 2

2^{0} \leq 2^{L^{2}} \leq 2^{1}

0 \leq L^{2} \leq 1

Нижняя граница y = 2/5 из квадратного неравенства слабее, чем y ≥ 1; решает именно y ≥ 1.

L² ≤ 1 означает −1 ≤ L ≤ 1. Подставляем L = log₂(4x) и решаем двойное неравенство.

- 1 \leq \log_{2} (4 x) \leq 1

\frac{1}{2} \leq 4 x \leq 2

\frac{1}{8} \leq x \leq \frac{1}{2}

Делим на 4: 1/8 ≤ x ≤ 1/2. Обе границы входят (нестрогое неравенство).

x \in [\frac{1}{8}; \frac{1}{2}]