Задача 10151254 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{\log_{2 x} (3 x - 1) \cdot \log_{3 x} (2 x - 1)}{2^{x} - 4} \geq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Основания логарифмов здесь переменные: каждое должно быть положительным и не равным единице. Плюс аргументы логарифмов положительны, а знаменатель не равен нулю.

ОДЗ

{\begin{matrix} 2 x > 0, 2 x \neq 1 \\ 3 x > 0, 3 x \neq 1 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x > 0, x \neq \frac{1}{2} \\ x > 0, x \neq \frac{1}{3} \end{matrix}

{\begin{matrix} 3 x - 1 > 0 \\ 2 x - 1 > 0 \\ 2^{x} - 4 \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x > \frac{1}{3} \\ x > \frac{1}{2} \\ x \neq 2 \end{matrix}

x > \frac{1}{2}, x \neq 2

Условие 2x − 1 > 0 сразу даёт x > 1/2 — оно строже всех остальных: из него следуют и x > 1/3, и x ≠ 1/2, и x ≠ 1/3. Знаменатель: 2ˣ − 4 = 0 ⟺ 2ˣ = 2² ⟺ x = 2, поэтому точка x = 2 выколота.

шаг 2.Метод рационализации

Знак логарифма с любым допустимым основанием совпадает со знаком произведения (основание − 1)(аргумент − 1), а знак разности степеней — со знаком разности показателей степени. Это метод рационализации; все замены сделаны на ОДЗ, где логарифмы определены.

\log_{2 x} (3 x - 1) \sim (2 x - 1) ((3 x - 1) - 1) = (2 x - 1) (3 x - 2)

\log_{3 x} (2 x - 1) \sim (3 x - 1) ((2 x - 1) - 1) = 2 (3 x - 1) (x - 1)

2^{x} - 2^{2} \sim (2 - 1) (x - 2) = x - 2

\frac{2 \underset{> 0}{\underset{⏟}{(2 x - 1) (3 x - 1)}} (3 x - 2) (x - 1)}{x - 2} \geq 0

\frac{(3 x - 2) (x - 1)}{x - 2} \geq 0

На ОДЗ x > 1/2, поэтому 2x − 1 > 0 и 3x − 1 > 0; вместе с положительной константой 2 эти множители знак дроби не меняют, и корни 1/2 и 1/3 на оси не появляются.

шаг 3.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Корни числителя: 2/3 и 1 — закрашены (нестрогое ≥). Точка разрыва знаменателя: 2 — выколота. Решение пересекаем с ОДЗ на отдельных осях.

Пробная точка x = 3: (3·3 − 2)(3 − 1)/(3 − 2) = 7·2/1 = 14 > 0 — знак «+» правее 2, дальше чередование (все корни нечётной кратности). ОДЗ x > 1/2 ничего не отсекает: оба куска решения лежат правее 1/2.

ответ

x \in [\frac{2}{3}; 1] \cup (2; + \infty)