условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифм определён при x > 0.
ОДЗ
шаг 2.Группируем и раскладываем на множители
Переносим всё влево и группируем: при log₅x выносим общий множитель, при свободных слагаемых — тоже. Появляется общая скобка.
Из 5^{x}log₅x − √5·log₅x выносим log₅x, из 5^{x} − √5 множитель уже виден — общая скобка (5^{x} − √5).
шаг 3.Нули множителей
Оба множителя строго возрастают, поэтому каждый обращается в ноль ровно один раз. Записываем 1 = log₅5 и √5 = 5^{0,5}, чтобы найти корни.
шаг 4.Метод интервалов
Произведение двух строго возрастающих множителей даёт ровно два нуля, между ними знак меняетсяКогда работает метод интервалов?
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0.. Корни 1/5 и 1/2 закрашены (нестрогое ≥), левая граница 0 — из ОДЗ.
➀ Полиномы и дроби — корни находятся алгебраически, между ними знак постоянен.
Пример:
Пример:
➁ Разности степеней одного основания
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
➂ Разность одинаковых степеней
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
· В ② и ③ только разность! Сумма всегда , корня нет → не учитываем.
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Смешанные — не работает
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0.
Пробная точка x = 0,3 ∈ (1/5; 1/2): log₅0,3 + 1 ≈ 0,25 > 0, а 5^{0,3} − √5 ≈ −0,62 < 0, произведение < 0. На крайних интервалах оба множителя одного знака — произведение положительно.