Задача 10151242 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

3 \cdot {(x + 1)}^{\log_{2} {(x + 1)}^{2}} - 48 \cdot 2^{\log_{2}^{2} (x + 1)} \geq 2 \cdot {(x + 1)}^{\log_{2} (x + 1)} - 32

Степень с основанием (x + 1) и логарифмы определены при x + 1 > 0.

ОДЗ

x + 1 > 0 \Rightarrow x > - 1

Основание x + 1 записываем как 2 в степени log₂(x + 1). Тогда обе «странные» степени сводятся к одной величине t.

{(x + 1)}^{\log_{2} (x + 1)} = 2^{\log_{2} (x + 1) \cdot \log_{2} (x + 1)} = 2^{\log_{2}^{2} (x + 1)}

t = {(x + 1)}^{\log_{2} (x + 1)} = 2^{\log_{2}^{2} (x + 1)}

{(x + 1)}^{\log_{2} {(x + 1)}^{2}} = {(x + 1)}^{2 \log_{2} (x + 1)} = t^{2}

2^{\log_{2}^{2} (x + 1)} = t, {(x + 1)}^{\log_{2} (x + 1)} = t

log₂(x + 1)² = 2·log₂(x + 1) — показатель по свойству логарифма.

Подставляем t: первое слагаемое 3t², второе 48t, справа 2t и 32.

3 t^{2} - 48 t \geq 2 t - 32

3 t^{2} - 50 t + 32 \geq 0

Ограничение: t = 2^{log₂²(x+1)} ≥ 2⁰ = 1, ведь log₂²(x + 1) ≥ 0.

Парабола ветвями вверх; корни через дискриминант.

3 t^{2} - 50 t + 32 = 0

D = 50^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 32 = 2500 - 384 = 2116

t = \frac{50 \pm \sqrt{2116}}{6} \begin{matrix} = 16 \\ = \frac{2}{3} \end{matrix}

(t - 16) (3 t - 2) \geq 0

t \leq \frac{2}{3} или t \geq 16

Но t ≥ 1, поэтому ветвь t ≤ 2/3 невозможна — остаётся t ≥ 16.

Возвращаемся к x: 2^{log₂²(x+1)} ≥ 2⁴, основание 2 > 1 — сравниваем показатели. Дальше снимаем log₂ (тоже растёт).

2^{\log_{2}^{2} (x + 1)} \geq 2^{4}

\log_{2}^{2} (x + 1) \geq 4

| \log_{2} (x + 1) | \geq 2

\log_{2} (x + 1) \geq 2

x + 1 \geq 4

x \geq 3

\log_{2} (x + 1) \leq - 2

0 < x + 1 \leq \frac{1}{4}

- 1 < x \leq - \frac{3}{4}

Левая граница −1 (выколота) — из ОДЗ x > −1.

x \in (- 1; - \frac{3}{4}] \cup [3; + \infty)