условие
шаг 1.Область допустимых значений
Все три логарифма требуют положительного аргумента, а это в каждом случае даёт одно и то же условие.
ОДЗ
шаг 2.Замена и упрощение
Вводим t = 2^{2x} > 0 и p = log₂x. Выражаем через них каждое слагаемое: степень 4^{2x−1}, логарифм произведения log₂2x и логарифм log₂(1/x)Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
. Переписываем неравенство через t и p., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
шаг 3.Сводим к сумме квадратов
Раскрываем правую часть, умножаем обе части на 4 и переносим всё влево. Слагаемые собираются в два полных квадрата.
t² + 4tp + 4p² = (t + 2p)², а 1 + 2p + p² = (p + 1)².
шаг 4.Когда сумма квадратов равна нулю
Сумма двух квадратов неотрицательна и обращается в ноль только когда обе скобки равны нулю одновременно. Эта система даёт единственную точку, где строгое неравенство не выполняется; во всех остальных точках ОДЗ оно верно.
Обе скобки зануляются согласованно: p = −1 даёт x = 1/2, и t = 2 тоже даёт x = 1/2. Значит выкалываем ровно одну точку x = 1/2.