Задача 10151237 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

2^{\lg (x^{2} - 4)} \geq {(x + 2)}^{\lg 2}

шаг 1.Область допустимых значений

Аргумент логарифма положителен: x² − 4 > 0. Правая часть (x + 2)^{lg2} — степень с иррациональным показателем, поэтому основание x + 2 > 0. Пересекаем оба условия.

ОДЗ

(𝟏) x^{2} - 4 > 0 \Rightarrow x^{2} > 4

(𝟐) x + 2 > 0 \Rightarrow x > - 2

ОДЗ : x > 2

шаг 2.Логарифмируем неравенство

Обе части положительны — берём десятичный логарифм от каждой. Показатель степени выносится множителем, после чего делим на положительное lg 2.

2^{\lg (x^{2} - 4)} \geq {(x + 2)}^{\lg 2}

\lg (x^{2} - 4) \cdot \lg 2 \geq \lg 2 \cdot \lg (x + 2)

\lg (x^{2} - 4) \geq \lg (x + 2)

lg(Aᵏ) = k·lg A; деление на положительное lg 2 знак неравенства не меняет.

шаг 3.Снимаем логарифм

Слева и справа — десятичные логарифмы, основание 10 > 1, функция возрастает. Снимаем lg и переносим всё влево.

\lg (x^{2} - 4) \geq \lg (x + 2)

x^{2} - 4 \geq x + 2

x^{2} - x - 6 \geq 0

шаг 4.Решаем квадратное неравенство

Находим корни трёхчлена и берём внешнюю область (парабола ветвями вверх). Затем пересекаем с ОДЗ x > 2 — ветка x ≤ −2 отпадает.

x^{2} - x - 6 = 0

D = 1 + 24 = 25

x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \begin{matrix} = 3 \\ = - 2 \end{matrix}

(x - 3) (x + 2) \geq 0

x \leq - 2 или x \geq 3

Корни x² − x − 6: x = (1 ± √25)/2 = 3 и −2. На ОДЗ x > 2, поэтому остаётся только x ≥ 3.

ответ

x \in [3; + \infty)

$3^{\lg (x^{2} - 1)} \geq {(x + 1)}^{\lg 3}$