условие
шаг 1.Снятие логарифма
Записываем 2x = log₆36ˣ, ведь 6^{2x} = 36ˣ. Основание 6 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— сравниваем аргументы (на ОДЗ аргумент логарифма положителен).шаг 2.Замена s = 8ˣ
64ˣ = (8ˣ)² = s². Получаем квадратное неравенство; основание 8 > 1, функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
По теореме Виета для s² − 65s + 64 = 0: сумма корней должна равняться 65, произведение — 64. Подбираем s₁ = 1 и s₂ = 64, отсюда s² − 65s + 64 = (s − 1)(s − 64). Пробная точка s = 2: (2 − 1)(2 − 64) = −62 < 0 — знак «−» между корнями, чередование «+, −, +». Выноска показывает ограничение замены s > 0: левый луч превращается в 0 < s ≤ 1.
шаг 3.Обратная замена
s ≤ 1 ⟺ 8ˣ ≤ 1 ⟺ x ≤ 0; s ≥ 64 ⟺ 8ˣ ≥ 8² ⟺ x ≥ 2.
На решении аргумент логарифма положителен (он равен 36ˣ + (s − 1)(s − 64) ≥ 0), ОДЗ выполнена.