условие
шаг 1.Область допустимых значений
Обе степени определены при любом x: основание x² + 2 ≥ 2, а трёхчлен 7x² − 4x + 1 положителен (его дискриминант отрицателен). Аргументы логарифмов — те же положительные выражения. Ограничений нет.
шаг 2.Тождество a^{lg b} = b^{lg a}
Обозначим a = x² + 2 и b = 7x² − 4x + 1. У обоих слагаемых логарифмы совпадают, поэтому слагаемые равны, и сумма равна удвоенному первому. Условие сводится к a^{lg b} ≤ 1.
Логарифмы обеих степеней равны lg a · lg b, а основания положительны — значит равны и сами степени.
шаг 3.Снимаем внешний логарифм
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
шаг 4.Знаки множителей
Множитель lg(x² + 2) строго положителен: x² + 2 ≥ 2 > 1. Значит произведение ≤ 0 только когда второй множитель не превосходит нуля.
Корни произведения x(7x − 4) видны сразу из множителей: x = 0 и x = 4/7 — общий множитель x уже вынесен, дискриминант не нужен. Пробная точка x = 1/7: (1/7)(1 − 4) = −3/7 < 0 — знак «−» между корнями, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≤). Основание x² + 2 всегда больше 1, поэтому lg(x² + 2) в ноль не обращается.