Задача 10151218 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{2 \cdot 8^{x}}{(\log_{2}^{2} {(x - 1)}^{2}) \log_{3} (x + 3)} \leq \frac{{(\frac{4}{3} \cdot 3^{x})}^{x}}{9 (\log_{2}^{2} {(x - 1)}^{2}) \log_{3} (x + 3)}

шаг 1.Область допустимых значений

Аргументы логарифмов положительны, знаменатели не равны нулю. Множитель log₂²((x−1)²) — квадрат, он зануляется там, где log₂((x−1)²) = 0.

ОДЗ

{(x - 1)}^{2} > 0 \Rightarrow x \neq 1

x + 3 > 0 \Rightarrow x > - 3

\log_{2} {(x - 1)}^{2} \neq 0 \Rightarrow {(x - 1)}^{2} \neq 1

\Rightarrow x \neq 0, x \neq 2

\log_{3} (x + 3) \neq 0 \Rightarrow x + 3 \neq 1 \Rightarrow x \neq - 2

x \in (- 3; - 2) \cup (- 2; 0) \cup (0; 1) \cup (1; 2) \cup (2; + \infty)

шаг 2.Переносим в одну сторону

Левый знаменатель — сам множитель D, правый — 9D. Обозначим D = log₂²((x−1)²)·log₃(x+3) — общий множитель. Переносим правую дробь влево к общему знаменателю 9D.

\frac{2 \cdot 8^{x}}{D} - \frac{{(\frac{4}{3} \cdot 3^{x})}^{x}}{9 D} \leq 0

\frac{18 \cdot 8^{x} - {(\frac{4}{3} \cdot 3^{x})}^{x}}{9 D} \leq 0

шаг 3.Раскрываем показатель и выносим 2²ˣ

Раскрываем степень (4/3·3ˣ)ˣ и представляем 8ˣ через двойку. Из числителя выносим множитель 2²ˣ > 0 — знак числителя задаёт оставшаяся скобка.

{(\frac{4}{3} \cdot 3^{x})}^{x} = \frac{4^{x}}{3^{x}} \cdot 3^{x^{2}} = 2^{2 x} \cdot 3^{x^{2} - x}

18 \cdot 8^{x} = 18 \cdot 2^{3 x} = 2^{2 x} \cdot 18 \cdot 2^{x}

18 \cdot 8^{x} - {(\frac{4}{3} \cdot 3^{x})}^{x} = 2^{2 x} (18 \cdot 2^{x} - 3^{x^{2} - x})

шаг 4.Знак показательной скобки

В скобке — разность двух положительных показательных выражений. Сравниваем их, логарифмируя по основанию 10 (логарифм возрастает — знак сохраняется), и раскладываем на множители.

18 \cdot 2^{x} \geq 3^{x^{2} - x}

\lg 18 + x \lg 2 \geq (x^{2} - x) \lg 3

\lg 3 (x^{2} - x - 2) - \lg 2 (x + 1) \leq 0

(x + 1) [\lg 3 (x - 2) - \lg 2] \leq 0

x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1

\lg 3 (x - 2) = \lg 2 \Rightarrow x - 2 = \log_{3} 2

x = \log_{3} 2 + 2 = \log_{3} 18

18 \cdot 2^{x} - 3^{x^{2} - x} \geq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq x \leq \log_{3} 18

Скобка положительна на (−1; log₃18) и отрицательна вне этого отрезка; в точках x = −1 и x = log₃18 она равна нулю.

шаг 5.Метод интервалов

Множитель 2²ˣ положителен, значит знак числителя совпадает со знаком скобки: он положителен на (−1; log₃18). В знаменателе log₂²((x−1)²) ≥ 0 — квадрат (петельки в x = 0, 1, 2: знак не меняется), а знак задаёт log₃(x+3): он отрицателен на (−3; −2) и положителен при x > −2. Наносим нули числителя (закрашены, ≤) и точки разрыва (выколоты).

Множитель log₂²((x−1)²) ≥ 0 всюду, поэтому на (−2; +∞) знак дроби задаёт только числитель. Пробная точка x = −1,5 ∈ (−2; −1): числитель < 0, знаменатель > 0 → дробь < 0 ✓. Пробная точка x = 3: числитель < 0 → дробь < 0 ✓. Точки x = 0, 1, 2 попадают в положительную зону и исключены (петелька).

ответ

x \in (- 2; - 1] \cup [\log_{3} 18; + \infty)