Задача 10151212 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

2^{\log_{2}^{2} x} + x^{\log_{2} x} \leq 256

Логарифм определён при x > 0.

ОДЗ

x > 0

Переписываем степень с логарифмом в показателе: x = 2ˡᵒᵍ²ˣ, поэтому xˡᵒᵍ²ˣ = 2ˡᵒᵍ²²ˣ. Оба слагаемых одинаковы.

x^{\log_{2} x} = {(2^{\log_{2} x})}^{\log_{2} x} = 2^{\log_{2}^{2} x}

2^{\log_{2}^{2} x} + 2^{\log_{2}^{2} x} = 2 \cdot 2^{\log_{2}^{2} x}

Делим на 2; 256 = 2⁸, остаётся 2⁷.

2 \cdot 2^{\log_{2}^{2} x} \leq 2^{8}

2^{\log_{2}^{2} x} \leq 2^{7}

\log_{2}^{2} x \leq 7

Степень с основанием 2 > 1 возрастает → сравниваем показатели.

(log₂x)² ≤ 7 ⟺ |log₂x| ≤ √7 ⟺ −√7 ≤ log₂x ≤ √7. Основание 2 > 1, возрастает.

- \sqrt{7} \leq \log_{2} x \leq \sqrt{7}

2^{- \sqrt{7}} \leq x \leq 2^{\sqrt{7}}

x \in [2^{- \sqrt{7}}; 2^{\sqrt{7}}]