условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргумент внутреннего логарифма положителен: 3ˣ − 9 > 0. Аргумент внешнего логарифма тоже положителен: log₉(3ˣ − 9) > 0, то есть 3ˣ − 9 > 1. Основание внешнего логарифма x > 0, x ≠ 1.
ОДЗ
log₃10 ≈ 2,10 > 2, поэтому условие x > log₃10 строже, чем x > 2. Заодно x > 1, значит основание степени x подходит.
шаг 2.Снимаем внешний логарифм
Основание x > 1 (по ОДЗ), логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
. Записываем 1 = logₓx и снимаем log с обеих частей, сохраняя знак.шаг 3.Снимаем внутренний логарифм
Записываем x = log₉9ˣ и снимаем log₉ (основание 9 > 1, возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
). Получается показательное неравенство.9ˣ = (3ˣ)² — приводим к одной показательной функции 3ˣ.
шаг 4.Это неравенство выполнено всюду
Обозначим p = 3ˣ > 0. Переносим всё влево: получается квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом, он положителен при любом p. Значит неравенство верно для всех x из ОДЗ.
Парабола p² − p + 9 ветвями вверх, D < 0 — нет корней, значит p² − p + 9 > 0 всегда. Ограничений сверх ОДЗ нет.
шаг 5.Ответ — это всё ОДЗ
Неравенство из шага 4 не накладывает новых условий, поэтому решение совпадает с ОДЗ x > log₃10.