Задача 10151206 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Метод рационализации

Переносим единицу влево и записываем x − 1 = log₄4^{x−1}, чтобы числитель стал разностью логарифмов одного основания. Дальше — метод рационализации: log_a f − log_a g имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничение ② на аргумент логарифма.

\frac{\log_{4} (2^{x} - 1) - \log_{4} 4^{x - 1}}{x - 1} \leq 0

⟺ {\begin{matrix} \frac{(4 - 1) ((2^{x} - 1) - 4^{x - 1})}{x - 1} \leq 0 & 1 \\ 2^{x} - 1 > 0 & 2 \end{matrix}

Ограничение x ≠ 1 отдельной строкой не выписываем — это точка разрыва дроби ①, она отметится выколотой точкой на её оси.

шаг 2.Неравенство ①

Упрощаем ①: множитель (4 − 1) = 3 положителен и знак не меняет — делим на него. Числитель через 2ˣ сворачивается в полный квадрат со знаком минус, поэтому он не положителен при любом x.

1 \frac{(4 - 1) ((2^{x} - 1) - 4^{x - 1})}{x - 1} \leq 0 | : 3

(2^{x} - 1) - 4^{x - 1} = (2^{x} - 1) - \frac{{(2^{x})}^{2}}{4} = - \frac{{(2^{x} - 2)}^{2}}{4}

\frac{- {(2^{x} - 2)}^{2}}{4 (x - 1)} \leq 0

Числитель −(2ˣ − 2)²/4 ≤ 0 при любом x, поэтому знак дроби противоположен знаку (x − 1): при x < 1 дробь положительна, при x > 1 — отрицательна. Нуль числителя 2ˣ = 2, то есть x = 1, — там знаменатель тоже обращается в ноль, поэтому точка выколота. Решение ①: (1; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — аргумент логарифма положителен. Основание 2 > 1, показательная функция возрастает, поэтому сравниваем показатели.

2 2^{x} - 1 > 0

2^{x} > 2^{0} \Rightarrow x > 0

Решение ②: (0; +∞).

шаг 4.Пересечение

Сводим оси ① и ② в одну. Ограничение ② слабее: луч x > 1 целиком лежит внутри x > 0, поэтому пересечение совпадает с решением ①.

Граница 1 выколота: там знаменатель исходной дроби обращается в ноль.

условие

шаг 1.Метод рационализации

шаг 2.Неравенство ①

шаг 3.Ограничение ②

шаг 4.Пересечение

ответ