условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргумент логарифма положителен: 4ˣ > 1/10.
ОДЗ
шаг 2.Сводим к показательному неравенству
Слагаемое (2x + 1)log₅10 = log₅10^{2x+1}, а 2x − 1 = log₅5^{2x−1}. Собираем всё под log₅; основание 5 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем логарифм.шаг 3.Раскрываем степени
Перемножаем и делим обе части на 25ˣ: 400ˣ/25ˣ = 16ˣ, 100ˣ/25ˣ = 4ˣ.
10^{2x+1} = 10·100ˣ, домножение даёт 10·400ˣ − 100ˣ; затем ·5 и деление на 25ˣ.
шаг 4.Замена u = 4ˣ
16ˣ = u², приходим к квадратному неравенству. Возвращаясь к x, учитываем возрастание 4ˣПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
и пересекаем с ОДЗ.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Пробная точка u = 0: 50(0 − 1/5)(0 + 1/10) = −1 < 0 — знак «−» между корнями, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≤): −1/10 ≤ u ≤ 1/5. ОДЗ 4ˣ > 1/10 отсекает всё левее 1/10, граница 1/10 выколота по ОДЗ.
шаг 5.Обратная замена
Возвращаемся к x: показательная функция 4ˣ возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
, поэтому знаки неравенств сохраняются.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).