Задача 10151204 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{14^{1 + \lg x}}{7 \lg^{2} (100 x) \lg (0,1 x)} \geq \frac{(4 \cdot 2^{\lg (10 x)})^{1 + \lg x}}{4 \lg^{2} (100 x) \lg (0,1 x)}

Логарифмы требуют x > 0. Знаменатели не должны обращаться в ноль: lg(100x) ≠ 0 и lg(0,1x) ≠ 0.

ОДЗ

x > 0

\lg (100 x) \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{100}

\lg (0,1 x) \neq 0 \Rightarrow x \neq 10

Обозначим t = lg x. Логарифмы знаменателя линейны по t, а основание правой степени сводится к степени двойки.

t = \lg x

\lg (100 x) = t + 2, \lg (0,1 x) = t - 1

\lg (10 x) = t + 1

4 \cdot 2^{\lg (10 x)} = 2^{2} \cdot 2^{t + 1} = 2^{t + 3}

Переносим правую дробь влево. Знаменатель общий — (t + 2)²(t − 1); числовые множители 7 и 4 убираем, приводя числитель к общему множителю.

\frac{14^{1 + t}}{7} = 2 \cdot 14^{t}

\frac{(2^{t + 3})^{1 + t}}{4} = \frac{2^{t^{2} + 4 t + 3}}{4} = 2 \cdot 2^{t^{2} + 4 t}

\frac{2 \cdot 14^{t} - 2 \cdot 2^{t^{2} + 4 t}}{{(t + 2)}^{2} (t - 1)} \geq 0

\frac{14^{t} - 2^{t^{2} + 4 t}}{{(t + 2)}^{2} (t - 1)} \geq 0

(t + 3)(1 + t) = t² + 4t + 3; деление на 4 = 2² даёт показатель t² + 4t + 1.

Раскладываем 14 = 2·7 и сравниваем степени; логарифмируем по основанию 2 (растёт).

14^{t} = 2^{t} \cdot 7^{t}

14^{t} \geq 2^{t^{2} + 4 t} \Leftrightarrow 7^{t} \geq 2^{t^{2} + 3 t}

t \log_{2} 7 \geq t^{2} + 3 t

t (t + 3 - \log_{2} 7) \leq 0

\log_{2} 7 - 3 \leq t \leq 0

log₂7 ≈ 2,81, поэтому log₂7 − 3 < 0; числитель ≥ 0 лишь на отрезке [log₂7 − 3; 0].

Множитель (t + 2)² чётной кратности — знак через t = −2 не меняется (точка выколота по ОДЗ). Числитель ≥ 0 на отрезке [log₂7 − 3; 0].

\frac{14^{t} - 2^{t^{2} + 4 t}}{{(t + 2)}^{2} (t - 1)} \geq 0

Решение по t: t ≤ log₂7 − 3 или 0 ≤ t < 1 (t = −2 исключено).

Возвращаемся t = lg x. Значение t = −2 отвечает x = 1/100 — выколотой точке ОДЗ внутри левого луча.

\lg x \leq \log_{2} 7 - 3 \Rightarrow 0 < x \leq 10^{\log_{2} 7 - 3}

0 \leq \lg x < 1 \Rightarrow 1 \leq x < 10

Точка x = 1/100 выколота: там lg²(100x) = 0, хотя она лежит внутри левого луча.

x \in (0; \frac{1}{100}) \cup (\frac{1}{100}; 10^{\log_{2} 7 - 3}] \cup [1; 10)