шаг 1.Раскладываем на множители

В числителе группируем слагаемые попарно и выносим общий множитель. Знаменатель — квадратный трёхчлен относительно log₂x.

Первые два слагаемых числителя дают log₂x(√(10 − x) − 3), вторые два — −2(√(10 − x) − 3); скобка общая, её и выносим. Проверка по Виета: для t² − 5t + 4 (где t = log₂x) сумма корней должна равняться 5, произведение — 4. У нас 1 + 4 = 5 и 1 · 4 = 4 — оба сходятся.

шаг 2.Метод рационализации

Сначала числа записываем в однотипном виде: 3 = √9, 2 = log₂4, 1 = log₂2, 4 = log₂16 — только тогда каждый множитель становится разностью, к которой применима формула. Ограничения ② и ③ — это ОДЗ: аргумент логарифма положителен, подкоренное выражение неотрицательно. Условия log₂x ≠ 1 и log₂x ≠ 4 отдельной строкой не выписываем — это точки разрыва дроби ①.

шаг 3.Неравенство ①

Вычисляем множители (2 − 1) = 1 и сокращаем их: основание 2 больше единицы, поэтому знаки логарифмических разностей совпадают со знаками разностей аргументов. В числителе (10 − x) − 9 = 1 − x.

Пробная точка x = 0 на интервале (−∞; 1): (1 − 0)(0 − 4)/((0 − 2)(0 − 16)) = (−4)/32 = −1/8 < 0 — знак «−», через нечётные корни знаки чередуются. Корни числителя 1 и 4 закрашены (нестрогое ≥), точки разрыва 2 и 16 выколоты. Минус в скобке (1 − x) трогать не нужно: знак расставлен прямо в этой форме через пробную точку. Решение ①: [1; 2) ∪ [4; 16).

шаг 4.Ограничения ② и ③

Условие ② — аргумент логарифма положителен; условие ③ — подкоренное выражение неотрицательно.

Решение ②: x > 0. Решение ③: x ≤ 10 (точка 10 закрашена — под корнем допускается ноль).

шаг 5.Пересечение

Сводим три оси в одну — берём пересечение решений ①, ② и ③.

Ограничение ② ничего не отсекает: всё решение ① лежит правее нуля. Ограничение ③ обрезает правый кусок [4; 16) до [4; 10] — точка 16 в область определения корня и так не попадала.