Задача 10151164 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{0,3} (2 - x) + \log_{0,3} \frac{2}{x} \leq \log_{0,3} (\frac{3}{x} - 6 x + 3)

шаг 1.Область допустимых значений

Аргументы всех логарифмов положительны. Нужно 2 − x > 0, 2/x > 0 и 3/x − 6x + 3 > 0.

ОДЗ

2 - x > 0 \Rightarrow x < 2

\frac{2}{x} > 0 \Rightarrow x > 0

\frac{3}{x} - 6 x + 3 > 0 : \frac{3 - 6 x^{2} + 3 x}{x} > 0 \Rightarrow \frac{- (2 x + 1) (x - 1)}{x} \cdot 3 > 0

0 < x < 1

3 − 6x² + 3x = −3(2x² − x − 1) = −3(2x + 1)(x − 1); с условием x > 0 неравенство 3/x − 6x + 3 > 0 даёт x < 1.

шаг 2.Сворачиваем сумму и снимаем логарифм

Слева сумма логарифмов превращается в логарифм произведения: (2 − x)·2/x. Основание 0,3 < 1, логарифм убывает — при снятии знак неравенства переворачивается.

\log_{0,3} (\frac{(2 - x) \cdot 2}{x}) \leq \log_{0,3} (\frac{3}{x} - 6 x + 3)

\frac{2 (2 - x)}{x} \geq \frac{3}{x} - 6 x + 3

Основание меньше 1 — поэтому ≤ превращается в ≥ между аргументами.

шаг 3.Приводим к одной дроби

Переносим всё влево и приводим к знаменателю x. Числитель: (4 − 2x) − 3 + x(6x − 3) = 6x² − 5x + 1.

\frac{4 - 2 x}{x} - \frac{3}{x} + 6 x - 3 \geq 0

\frac{4 - 2 x - 3 + x (6 x - 3)}{x} \geq 0

\frac{6 x^{2} - 5 x + 1}{x} \geq 0

\frac{(2 x - 1) (3 x - 1)}{x} \geq 0

Корни 6x² − 5x + 1: D = 25 − 24 = 1, x = (5 ± 1)/12 = ½; ⅓. Значит 6x² − 5x + 1 = (2x − 1)(3x − 1).

шаг 4.Метод интервалов

Корни числителя x = 1/3 и x = 1/2 (закрашены, нестрогое ≥), точка разрыва x = 0 (выколота).

Пробная точка x = 1: (2·1 − 1)(3·1 − 1)/1 = (1·2)/1 = 2 > 0 → на (1/2; +∞) знак «+», дальше знаки чередуются. Неравенство ≥ 0 выполнено там, где стоит «+»: 0 < x ≤ 1/3 или x ≥ 1/2.

шаг 5.Пересечение с ОДЗ

Накладываем решение неравенства (0; 1/3] ∪ [1/2; +∞) на ОДЗ 0 < x < 1. Левый кусок целиком лежит внутри ОДЗ, правый обрезается границей x = 1.

Точки 0 и 1 выколоты по ОДЗ; 1/3 и 1/2 закрашены. В ответ входят (0; 1/3] и [1/2; 1).

ответ

x \in (0; \frac{1}{3}] \cup [\frac{1}{2}; 1)