Задача 10151163 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{4} (6 + \sqrt{x} - | \sqrt{x} - 2 |) \leq \frac{1}{2} + \log_{2} | \sqrt{x} - | \sqrt{x} - 2 | |

шаг 1.Делаем замену

Переменная входит в неравенство только через √x — обозначим этот корень буквой t. По определению арифметического корня t ≥ 0, обратно x = t². Модуль |t − 2| раскрываем по знаку разности t − 2.

t = \sqrt{x} \geq 0, x = t^{2}

\log_{4} (6 + t - | t - 2 |) \leq \frac{1}{2} + \log_{2} | t - | t - 2 | |

| t - 2 | = {\begin{matrix} 2 - t, & 0 \leq t < 2 \\ t - 2, & t \geq 2 \end{matrix}

Точка t = 2 делит луч t ≥ 0 на два интервала — на каждом из них модуль раскрывается своей формулой.

шаг 2.Область допустимых значений

Оба аргумента логарифмов должны быть положительны. Проверяем это на каждом из двух интервалов.

ОДЗ

{\begin{matrix} 6 + t - | t - 2 | > 0 \\ | t - | t - 2 | | > 0 \end{matrix}

t \geq 2 : 6 + t - (t - 2) = 8 > 0

| t - (t - 2) | = 2 > 0

0 \leq t < 2 : 6 + t - (2 - t) = 4 + 2 t > 0

| t - (2 - t) | = | 2 t - 2 | > 0 ⟺ t \neq 1

t \geq 0, t \neq 1

Первое условие выполняется всегда: справа аргумент равен 8, слева 4 + 2t ≥ 4 при t ≥ 0. Второе условие даёт единственное ограничение t ≠ 1 — именно там t совпадает с |t − 2| и второй логарифм не определён.

шаг 3.Случай: t ≥ 2

Модуль раскрывается как t − 2, и оба аргумента логарифмов превращаются в числа.

6 + t - | t - 2 | = 6 + t - (t - 2) = 8

| t - | t - 2 | | = | t - (t - 2) | = 2

\log_{4} 8 = \log_{4} 4^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}, \log_{2} 2 = 1

\log_{4} 8 \leq \frac{1}{2} + \log_{2} 2

\frac{3}{2} \leq \frac{1}{2} + 1

\frac{3}{2} \leq \frac{3}{2}

Здесь 8 = 4^{3/2}, потому что 4^{3/2} = (√4)³ = 2³ = 8. Получилось верное равенство, причём t в него уже не входит — значит подходит любое t ≥ 2.

шаг 4.Случай: 0 ≤ t < 2

Модуль раскрывается как 2 − t. Приводим первый логарифм к основанию 2, домножаем неравенство на 2 и снимаем логарифм.

6 + t - | t - 2 | = 6 + t - (2 - t) = 4 + 2 t

| t - | t - 2 | | = | t - (2 - t) | = | 2 t - 2 |

\log_{4} (4 + 2 t) \leq \frac{1}{2} + \log_{2} | 2 t - 2 |

\frac{1}{2} \log_{2} (4 + 2 t) \leq \frac{1}{2} + \log_{2} | 2 t - 2 | | \cdot 2

\log_{2} (4 + 2 t) \leq 1 + 2 \log_{2} | 2 t - 2 |

\log_{2} (4 + 2 t) \leq \log_{2} 2 + \log_{2} {(2 t - 2)}^{2}

\log_{2} (4 + 2 t) \leq \log_{2} (2 (2 t - 2)^{2})

4 + 2 t \leq 2 {(2 t - 2)}^{2}

4 + 2 t \leq 8 t^{2} - 16 t + 8

8 t^{2} - 18 t + 4 \geq 0

4 t^{2} - 9 t + 2 \geq 0

4 t^{2} - 9 t + 2 = 0

D = {(- 9)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49

t = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{8} = \frac{9 \pm 7}{8} \begin{matrix} = 2 \\ = 0,25 \end{matrix}

4 (t - 0,25) (t - 2) \geq 0

Домножение на 2 знак неравенства не меняет, а 2log₂|2t − 2| = log₂|2t − 2|² = log₂(2t − 2)². Пробная точка t = 1 на интервале (0,25; 2): 4(1 − 0,25)(1 − 2) = 4 · 0,75 · (−1) = −3 < 0 — знак «−», через нечётные корни знаки чередуются. Ограничение ОДЗ t ≠ 1 ничего не отсекает: точка 1 и так не попала в решение.

шаг 5.Объединение случаев

Случаи раскрытия модуля описывают разные интервалы одной переменной, поэтому их результаты объединяем.

Случаи связаны через ИЛИ — берём объединение.

шаг 6.Обратная замена

Возвращаемся к x по формуле t = √x. Обе части каждого неравенства неотрицательны, поэтому возведение в квадрат равносильно.

0 \leq t \leq 0,25

0 \leq \sqrt{x} \leq 0,25

0 \leq x \leq {0,25}^{2}

0 \leq x \leq \frac{1}{16}

t \geq 2

\sqrt{x} \geq 2

x \geq 2^{2}

x \geq 4

Здесь 0,25² = 1/16. Проверка левой границы: при x = 0 слева log₄(6 + 0 − 2) = log₄4 = 1, справа 1/2 + log₂2 = 3/2, и 1 ≤ 3/2 — верно, значит ноль входит в ответ.

ответ

x \in [0; \frac{1}{16}] \cup [4; + \infty)