шаг 1.Область допустимых значений: первое условие

Аргумент первого логарифма положителен. Числитель x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2). Решаем методом интервалов дробь с точкой разрыва x = −1.

Аргумент второго логарифма x² + 1 > 0 выполнен всегда. Третье условие проверим отдельно ниже.

шаг 2.Сворачиваем сумму и снимаем логарифм

шаг 3.Приводим правую часть к одной дроби

Соберём правую часть над знаменателем x + 1: (x³ − x² − 5x − 3)(x + 1) + 4 = x⁴ − 6x² − 8x + 1.

(x³ − x² − 5x − 3)(x + 1) = x⁴ − 6x² − 8x − 3; прибавляем 4 → x⁴ − 6x² − 8x + 1.

шаг 4.Переносим в одну дробь и упрощаем числитель

Знаменатели одинаковы (x + 1). Вычитаем числители: (x − 3)(x + 2)(x² + 1) = x⁴ − x³ − 5x² − x − 6. Из него вычитаем x⁴ − 6x² − 8x + 1.

−x³ + x² + 7x − 7 = −(x³ − x² − 7x + 7) = −(x²(x − 1) − 7(x − 1)) = −(x − 1)(x² − 7).

шаг 5.Учитываем третье условие ОДЗ

Третий аргумент должен быть положителен: (x⁴ − 6x² − 8x + 1)/(x + 1) > 0. Проверим знак на двух интервалах ОДЗ из первого условия. На (−2; −1) дробь отрицательна (числитель положителен, знаменатель отрицателен) — этот кусок отпадает. На (3; +∞) дробь положительна.

Например, при x = −1,5 числитель ≈ 4,6 > 0, знаменатель = −0,5 < 0 → дробь < 0. При x = 4 числитель = 256 − 96 − 32 + 1 = 129 > 0, знаменатель = 5 > 0 → дробь > 0. Итог ОДЗ: x ∈ (3; +∞).

шаг 6.Решаем на оставшемся интервале

Корни числителя: −√7 ≈ −2,65, 1 и √7 ≈ 2,65. Точка разрыва знаменателя: x = −1. Все четыре точки левее 3, а ОДЗ оставила только x > 3 — на оси они выколоты по ОДЗ и в ответ не входят. При x > 3 множители (x − 1), (x² − 7) и (x + 1) положительны, дробь положительна, а минус перед ней делает выражение отрицательным.

Пробная точка x = 4: −(4 − 1)(4² − 7)/(4 + 1) = −(3·9)/5 = −5,4 < 0 → на (3; +∞) знак «−», нестрогое ≤ 0 выполнено. Левее 3 знаки чередуются на корнях −√7, −1, 1, √7, но весь этот кусок оси отсечён ОДЗ — зелёным остаётся только (3; +∞).