условие
шаг 1.Сворачиваем знаменатель
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Свёртка ничего лишнего не вносит: ОДЗ и так требует 1,5 − x > 0, то есть оба аргумента положительны.
шаг 2.Область допустимых значений
Подкоренное выражение неотрицательно, аргумент логарифма положителен, знаменатель не равен нулю.
Выделяем полный квадрат: 1 + 2x − x² = 1 − (x² − 2x) = 1 − ((x − 1)² − 1) = 2 − (x − 1)². Определение модуля: |f| ≤ a при a ≥ 0 равносильно −a ≤ f ≤ a. Правая граница 1 + √2 ≈ 2,41 лежит правее 1,5, поэтому её срезает условие логарифма.
шаг 3.Знак знаменателя
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Точка 1 выколота — в ней логарифм равен нулю, и дробь не определена. Правее 1,5 логарифм не существует, поэтому знака там нет.
шаг 4.Знак числителя
На ОДЗ переменная меньше 1,5, поэтому выражение 2 − x положительно. Обе части неотрицательны, и возведение в квадрат равносильно.
Знак «≥» сменился на «≤» не из-за умножения на −1, а потому что мы поменяли стороны местами: A ≥ B ⟺ B ≤ A. Слагаемые перенесены со своими знаками. Пробная точка x = 0: числитель равен √1 + 0 − 2 = 1 − 2 = −1 < 0 — слева от корня знак «−», справа «+». Второй корень (3 + √3)/2 ≈ 2,37 лежит правее ОДЗ, поэтому на оси его нет. Точка 1 − √2 — левый край ОДЗ: левее подкоренное выражение отрицательно.
шаг 5.Собираем знак дроби
Дробь неположительна там, где числитель и знаменатель разных знаков, а также в нуле числителя. Совмещаем обе картинки знаков.
Пробная точка x = 0: числитель равен −1 < 0, знаменатель log₅3 > 0 — дробь отрицательна, знак «−» на левом интервале. Левая граница 1 − √2 закрашена (она входит в ОДЗ), точка (3 − √3)/2 закрашена — там числитель равен нулю и дробь равна нулю. Точка 1 выколота (знаменатель обращается в ноль), 1,5 выколота — дальше логарифм не определён.