условие
шаг 1.Область допустимых значений
Основание логарифма положительно и не равно единице, аргументы обоих логарифмов положительны.
Условие x > 0,6 сильнее, чем x > 0, и поглощает его. При x > 0,6 числитель и знаменатель дроби x/(5x − 3) положительны, поэтому последнее условие выполняется само собой.
шаг 2.Упрощаем подкоренное выражение
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Основное тождество: log_x x = 1. Полный квадрат: m² − 4m + 4 = m² − 2·m·2 + 2² = (m − 2)². Корень из квадрата равен модулю: √(a²) = |a|.
шаг 3.Сравниваем число с его модулем
Слева стоит само число m − 2, справа — его модуль. Модуль никогда не меньше числа, поэтому неравенство возможно только как равенство — ровно тогда, когда число неотрицательно.
«y ≥ |y|» выполняется тогда и только тогда, когда y ≥ 0.
При y < 0 модуль |y| = −y больше самого y, и неравенство неверно; при y ≥ 0 обе части совпадают. Значит исходное неравенство на всём множестве решений обращается в равенство.
шаг 4.Снимаем логарифм
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число 2 записываем как логарифм того же основания: 2 = log_x x². Значение x = 1 в основании невозможно по ОДЗ, поэтому третьего случая нет.
шаг 5.Случай x > 1
Переносим всё в правую часть и находим корни трёхчлена через дискриминант.
Знак «≥» сменился на «≤» не из-за умножения на −1, а потому что мы поменяли стороны местами: A ≥ B ⟺ B ≤ A. Слагаемые перенесены со своими знаками. Пробная точка x = 0: 0² − 5·0 + 3 = 3 > 0 — знак «+» на левом интервале, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≤). Условие случая x > 1 срезает левую границу: (5 − √13)/2 ≈ 0,70 меньше единицы.
шаг 6.Случай 0,6 < x < 1
Здесь логарифм убывает, поэтому трёхчлен неотрицателен — решение лежит вне отрезка между теми же корнями, что найдены в шаге 5.
Трёхчлен тот же, значит те же корни и та же расстановка знаков: пробная точка x = 0 даёт 3 > 0, чередование «+, −, +». Корни закрашены (нестрогое ≥). Условие случая 0,6 < x < 1 оставляет только кусок левого луча до (5 − √13)/2. Правый луч лежит целиком правее единицы и здесь не годится.
шаг 7.Объединяем случаи
Ответ — объединение решений двух случаев. Обе точки 0,6 и 1 выколоты: первая не входит в ОДЗ, вторая запрещена как основание логарифма.
Проверка: при x = 2 получаем log₂7 ≈ 2,81 ≥ 2 — точка входит в ответ. При x = 5 получаем log₅22 ≈ 1,92 < 2 — не входит. Обе правые границы закрашены: в них log_x(5x − 3) = 2, и исходное неравенство обращается в верное равенство.