шаг 1.Область допустимых значений

В неравенстве есть только log₃x, поэтому единственное ограничение — положительность аргумента.

шаг 2.Делаем замену

Обозначим t = log₃x. Тогда log₃²x = t². Удобно ввести ещё внутреннее выражение s = t² − 2t — именно его квадрат стоит слева.

s = t² − 2t — выражение в скобке слева.

шаг 3.Сводим к произведению двух квадратных трёхчленов

Перенесём всё влево. Заметим, что −11t² + 22t = −11(t² − 2t) = −11s. Тогда относительно s получается квадратный трёхчлен.

Корни s² − 11s + 24 по теореме Виета: их сумма равна 11, произведение равно 24 — подходят s = 3 и s = 8.

шаг 4.Возвращаемся к t

Подставляем s = t² − 2t обратно в оба множителя и раскладываем каждый квадратный трёхчлен по теореме Виета.

t² − 2t − 3 = (t − 3)(t + 1): сумма корней 2, произведение −3. t² − 2t − 8 = (t − 4)(t + 2): сумма корней 2, произведение −8.

шаг 5.Метод интервалов в t

Корни произведения: −2, −1, 3, 4 — все выколоты (строгое неравенство) и все простые, поэтому знаки чередуются.

Пробная точка t = 0: (0 − 3)(0 + 1)(0 − 4)(0 + 2) = (−3)·1·(−4)·2 = 24 > 0 → на интервале (−1; 3) знак «+». Далее знаки чередуются. Решение: −2 < t < −1 или 3 < t < 4.

шаг 6.Обратная замена

Все границы выколоты (строгое неравенство). ОДЗ x > 0 выполнено: все четыре границы положительны.