условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргументы обоих логарифмов положительны.
Куб сохраняет знак: x³ > 0 равносильно x > 0, поэтому второе условие ничего не добавляет.
шаг 2.Собираем всё в левой части
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
шаг 3.Раскладываем обе скобки
В обеих скобках прячется один и тот же трёхчлен 3x² − x − 4. Раскладываем его группировкой, после чего у всего выражения появляется общий множитель.
Группировка: 3x² + 3x = 3x(x + 1), а −4x − 4 = −4(x + 1); общий множитель (x + 1) выносим за скобку.
шаг 4.Нули множителей
На ОДЗ множитель x + 1 положителен и на знак произведения не влияет — остаются (3x − 4) и (3 − x·log₃x).
При 0 < x ≤ 1 логарифм log₃x не положителен, поэтому x·log₃x ≤ 0 < 3. При x > 1 обе величины x и log₃x положительны и возрастают, значит их произведение строго возрастает. Поэтому равенство x·log₃x = 3 выполняется ровно в одной точке.
Множитель 3 − x·log₃x положителен при 0 < x < 3, обращается в ноль при x = 3 и отрицателен при x > 3.
шаг 5.Метод интервалов
Корни 4/3 и 3 закрашены (нестрогое ≥). Точка x = 0 выколота по ОДЗ: левее неё выражение не определено.
Пробная точка x = 1: (3·1 − 4)(3 − 1·log₃1) = (−1)·3 = −3 < 0 — знак «−» на интервале (0; 4/3). Пробная точка x = 9: (3·9 − 4)(3 − 9·log₃9) = 23·(3 − 18) = −345 < 0 — знак «−» на луче (3; +∞). Между 4/3 и 3 первый множитель уже положителен, а второй ещё положителен — там знак «+».