Задача 10151151 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Метод рационализации

Аргументы обоих логарифмов — степени одного выражения u = x² − 4x − 11, и по ОДЗ u > 0. Приводим логарифмы к общему основанию 5: числитель оказывается произведением отрицательной константы на log₅u. Дальше сам логарифм заменяем рационализирующим множителем — метод рационализации. Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому переход записываем равносильной системой: неравенство ① и ограничение ②.

u = x^{2} - 4 x - 11

\log_{5} u^{2} - \log_{11} u^{3} = 2 \log_{5} u - 3 \log_{11} u

\log_{11} u = \frac{\log_{5} u}{\log_{5} 11}

2 \log_{5} u - 3 \cdot \frac{\log_{5} u}{\log_{5} 11} = \frac{2 \log_{5} 11 - 3}{\log_{5} 11} \cdot \log_{5} u

2 \log_{5} 11 - 3 = \log_{5} 121 - \log_{5} 125 < 0

\log_{5} 11 > 0

\frac{2 \log_{5} 11 - 3}{\log_{5} 11} < 0

\log_{5} u \sim (5 - 1) (u - 1)

\log_{5} u^{2} - \log_{11} u^{3} \sim (5 - 1) (1 - u)

\frac{\log_{5} u^{2} - \log_{11} u^{3}}{2 - 5 x - 3 x^{2}} \leq 0 ⟺

{\begin{matrix} \frac{(5 - 1) (1 - u)}{2 - 5 x - 3 x^{2}} \leq 0 & 1 \\ u > 0 & 2 \end{matrix}

Показатели выносятся без модуля: по ОДЗ u > 0. 2·log₅11 = log₅121, а 3 = log₅125; 121 < 125, поэтому разность отрицательна. Основание 11 > 1 даёт log₅11 > 0 — вся константа-коэффициент отрицательна, и знак числителя противоположен знаку log₅u. Поэтому в скобке ① стоит (1 − u), а не (u − 1). Нули знаменателя отдельной строкой не выписываем: они остаются точками разрыва дроби ①.

шаг 2.Неравенство ①

Убираем положительный множитель (5 − 1) = 4, затем раскладываем числитель и знаменатель на множители и решаем методом интервалов.

1 \frac{(5 - 1) (1 - u)}{2 - 5 x - 3 x^{2}} \leq 0

\frac{4 (1 - u)}{2 - 5 x - 3 x^{2}} \leq 0 | : 4

\frac{1 - u}{2 - 5 x - 3 x^{2}} \leq 0

1 - u = 1 - (x^{2} - 4 x - 11) = - x^{2} + 4 x + 12

- x^{2} + 4 x + 12 = - (x^{2} - 4 x - 12)

x^{2} - 4 x - 12 = (x - 6) (x + 2)

1 - u = - (x - 6) (x + 2) = (6 - x) (x + 2)

2 - 5 x - 3 x^{2} = 2 + x - 6 x - 3 x^{2}

2 + x - 6 x - 3 x^{2} = (2 + x) - 3 x (2 + x)

2 - 5 x - 3 x^{2} = (2 + x) (1 - 3 x)

\frac{(6 - x) (x + 2)}{(2 + x) (1 - 3 x)} \leq 0

По теореме Виета для x² − 4x − 12 = 0: сумма корней должна равняться 4, произведение — −12. Подбираем 6 и −2, отсюда x² − 4x − 12 = (x − 6)(x + 2). Знаменатель раскладываем группировкой: 2 + x − 6x − 3x² = (2 + x) − 3x(2 + x) = (2 + x)(1 − 3x). Пробная точка x = 0: (6 − 0)(0 + 2) = 12 сверху и (2 + 0)(1 − 0) = 2 снизу, дробь равна 6 > 0 — знак «+» на интервале (−2; 1/3). Точка x = −2 — общий ноль числителя и знаменателя, суммарная кратность чётная → петелька: точка выколота, знак через неё не меняется. Корень x = 6 закрашен (нестрогое ≤), точка разрыва 1/3 выколота. Решение ①: (1/3; 6].

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — положительность аргументов логарифмов. Раскладываем трёхчлен через дискриминант и решаем методом интервалов.

2 x^{2} - 4 x - 11 > 0

D = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 11) = 16 + 44 = 60

x = \frac{4 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{4 \pm 2 \sqrt{15}}{2} \begin{matrix} = 2 + \sqrt{15} \\ = 2 - \sqrt{15} \end{matrix}

(x - 2 + \sqrt{15}) (x - 2 - \sqrt{15}) > 0

Упрощаем корень: √60 = √(4·15) = 2√15, поэтому корни равны 2 ± √15. Пробная точка x = 0: 0² − 4·0 − 11 = −11 < 0 — знак «−» в среднем интервале, чередование «+, −, +». Корни выколоты (строгое >). Решение ②: x < 2 − √15 или x > 2 + √15.

шаг 4.Пересечение

Пересекаем решение ① с ограничением ②. Интервал от 1/3 до 2 + √15 выпадает: там аргументы логарифмов отрицательны. Правый конец 6 остаётся, потому что √15 < √16 = 4, а значит 2 + √15 < 6.

Граница 2 + √15 выколота ограничением ②, а точка x = 6 закрашена — в ней числитель равен нулю и дробь равна нулю. Точки −2 и 1/3 в ответ не попадают: обе лежат левее 2 + √15.

условие

шаг 1.Метод рационализации

шаг 2.Неравенство ①

шаг 3.Ограничение ②

шаг 4.Пересечение

ответ