Задача 10151149 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Аргументы всех трёх логарифмов положительны. Аргумент второго — полный квадрат (x − 5)².

ОДЗ

{\begin{matrix} x - 5 > 0 \\ x^{2} - 10 x + 25 > 0 \\ x - 7 > 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x > 5 \\ {(x - 5)}^{2} > 0 \\ x > 7 \end{matrix} ⟺

{\begin{matrix} x > 5 \\ x \neq 5 \\ x > 7 \end{matrix} ⟺ x > 7

Чётная степень (x − 5)² неотрицательна при любом x и обращается в ноль лишь при x − 5 = 0, поэтому (x − 5)² > 0 равносильно x ≠ 5. Самое сильное из трёх условий — x > 7, оно и задаёт ОДЗ.

шаг 2.Приводим первый множитель к основанию 5

Основание 0,2 — это 5⁻¹, поэтому log₀,₂(x − 5) = −log₅(x − 5), а возведение в квадрат минус убирает. Во втором логарифме выносим чётную степень: на ОДЗ x − 5 > 0, поэтому модуль не нужен.

0,2 = \frac{1}{5} = 5^{- 1}

\log_{0,2} (x - 5) = \frac{\log_{5} (x - 5)}{\log_{5} 5^{- 1}} = - \log_{5} (x - 5)

\log_{0,2}^{2} (x - 5) = {(- \log_{5} (x - 5))}^{2} = \log_{5}^{2} (x - 5)

x^{2} - 10 x + 25 = {(x - 5)}^{2}

\log_{5} (x^{2} - 10 x + 25) = \log_{5} {(x - 5)}^{2} = 2 \log_{5} (x - 5)

Формула перехода к новому основанию: log_a b = log_c b : log_c a. log₅5⁻¹ = −1, поэтому дробь даёт ровно −log₅(x − 5), а после возведения в квадрат знак пропадает.

шаг 3.Сворачиваем скобку в полный квадрат

Обозначим t = log₅(x − 5). Скобка превращается в квадрат разности.

t = \log_{5} (x - 5)

t^{2} - 2 t + 1 = {(t - 1)}^{2}

{(\log_{5} (x - 5) - 1)}^{2} \cdot \log_{5} (x - 7) \leq 0

Квадрат разности: t² − 2t + 1 = (t − 1)².

шаг 4.Разбираем произведение

Первый множитель — полный квадрат, он неотрицателен при любом x. Значит произведение не положительно в двух случаях: либо квадрат равен нулю, либо второй множитель не положителен.

{(\log_{5} (x - 5) - 1)}^{2} \geq 0

1) {(\log_{5} (x - 5) - 1)}^{2} = 0

2) \log_{5} (x - 7) \leq 0

В случае 1 всё произведение обращается в ноль — нестрогое неравенство выполнено.

шаг 5.Случай 1: квадрат равен нулю

Квадрат обращается в ноль вместе со своим основанием.

\log_{5} (x - 5) - 1 = 0

\log_{5} (x - 5) = 1

\log_{5} (x - 5) = \log_{5} 5

x - 5 = 5 ⟺ x = 10

Потенцирование — операция, обратная логарифмированию: сначала записываем свободный член как log₅5, затем снимаем логарифмы. Точка x = 10 входит в ОДЗ (10 > 7) — это изолированная точка ответа.

шаг 6.Случай 2: второй множитель не положителен

Записываем ноль как log₅1 и снимаем логарифмы. Основание 5 > 1, логарифм возрастает — знак неравенства сохраняется.

\log_{5} (x - 7) \leq 0

\log_{5} (x - 7) \leq \log_{5} 1

x - 7 \leq 1 ⟺ x \leq 8

вместе с ОДЗ x > 7 :

7 < x \leq 8

Снизу интервал обрезает ОДЗ: при x = 7 аргумент x − 7 обращается в ноль, и логарифм не определён.

шаг 7.Объединяем случаи

Ответ — интервал из случая 2 вместе с изолированной точкой из случая 1.

Точка x = 7 выколота по ОДЗ; x = 8 закрашена (нестрогое ≤); x = 10 — изолированная точка из случая 1.

условие