условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргумент каждого логарифма положителен. Под вторым логарифмом стоит корень из того же выражения, поэтому новых ограничений он не добавляет.
Корень √(x − 8) положителен ровно тогда, когда x − 8 > 0, — то же самое условие, что и у первого логарифма.
шаг 2.Убираем корень из-под логарифма
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Показатель 1/2 выносится без модуля: по ОДЗ x − 8 > 0. Множитель 25(x − 8) в новую переменную не переводим — он остаётся как есть, в t уходит только логарифм.
шаг 3.Раскладываем на множители
Трёхчлен t² − 3t − 4 раскладывается на множители, и один из них — (t − 4) — уже стоит во втором слагаемом. Выносим его за скобку и возвращаемся к записи через x.
По теореме Виета для t² − 3t − 4 = 0: сумма корней должна равняться 3, произведение — −4. Подбираем 4 и −1, отсюда t² − 3t − 4 = (t − 4)(t + 1).
шаг 4.Нули множителей
Оба множителя строго возрастают на ОДЗ: log₅(x − 8) возрастает, 25(x − 8) тоже возрастает, а сумма возрастающих функций возрастает. Значит, каждый множитель обращается в ноль ровно один раз, и знак меняет только в этой точке. Корень второго множителя подбираем среди степеней пятёрки.
Пробуем x − 8 = 5⁻² = 1/25: логарифм равен −2, а 25(x − 8) = 1, и сумма −2 + 1 + 1 обращается в ноль. Других нулей нет — множитель строго возрастает.
шаг 5.Метод интервалов
Корни множителей: 8,04 и 633 — закрашены (нестрогое ≥). Точка x = 8 выколота по ОДЗ, левее неё выражение не определено.
Пробная точка x = 9: log₅1 − 4 = −4 и log₅1 + 25·1 + 1 = 26, произведение −4 · 26 = −104 < 0 — знак «−» на интервале (8,04; 633). Левее 8,04 отрицательны оба множителя, поэтому произведение положительно; правее 633 оба положительны.