условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргументы обоих логарифмов — чётные степени одного и того же выражения x² − 26. Чётная степень неотрицательна всегда и обращается в ноль только вместе с основанием степени.
Чётная степень неотрицательна при любом x и обращается в ноль лишь при x² − 26 = 0, поэтому оба условия равносильны одному: x² ≠ 26.
шаг 2.Выносим показатели степеней и делаем замену
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Чётный показатель выносится с модулем: lg b^{2k} = 2k·lg|b|. Без модуля потерялась бы ветка x² − 26 < 0, а она входит в ОДЗ. Деление обеих частей на 16 > 0 знак неравенства сохраняет.
шаг 3.Решаем биквадратное неравенство
Неравенство содержит только чётные степени t — обозначим s = t², причём s ≥ 0. Раскладываем квадратный трёхчлен через дискриминант и возвращаемся к t.
Множитель t² + 15/16 положителен при любом t, поэтому знак произведения определяет только множитель t² − 1, а положительное число 16 на знак не влияет. Пробная точка t = 0: (0 − 1)(0 + 1) = −1 < 0 — знак «−» в среднем интервале, чередование «+, −, +». Корни закрашены (нестрогое ≤). Получили −1 ≤ t ≤ 1.
шаг 4.Обратная замена
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
−1 = lg 0,1, потому что 10⁻¹ = 0,1; 1 = lg 10. Нижняя граница появилась не случайно: вблизи x² = 26 модуль близок к нулю, логарифм уходит в минус бесконечность, и левая часть исходного неравенства становится сколь угодно большой.
шаг 5.Раскрываем модуль
1 двойное неравенство.
2 тут { — фигурная скобка = И (выполняются одновременно) исключает случаи когда f = −20, a = 5. |−20| ≤ 5 — ложь, но строка f ≤ a (−20 ≤ 5 — истина) пропустит неправильный ответ. Либо фигурная скобка, либо 3.
3 Корректная запись для [ — прямоугольной скобки.
Правило раскрытия: |f| ≤ b (b ≥ 0) равносильно −b ≤ f ≤ b, а |f| ≥ a (a > 0) — совокупности f ≤ −a или f ≥ a. Переход от x² к |x| законен: обе части неотрицательны, а функция √ возрастает, поэтому x² ≤ a равносильно |x| ≤ √a.
шаг 6.Пересечение условий
Снимаем модуль в каждом условии — получаем симметричные относительно нуля промежутки. Ответ — пересечение ① и ②.
Все восемь границ закрашены: исходное неравенство нестрогое, и в каждой из них левая часть равна ровно 240. Выброшенные промежутки (−√26,1; −√25,9) и (√25,9; √26,1) содержат точки ±√26 ≈ ±5,10, исключённые ОДЗ, — отдельно отмечать их не нужно, они и так не попали в ответ. Проверка: x = 5 лежит в ответе, ведь |25 − 26| = 1, а lg 1 = 0 — левая часть равна нулю, что не больше 240.